x³-5x²+17x-13=0 সমীকরণের একটি মূল 1 হলে , অপর মূল দুটি কী কী?

Another Explanation (5):

প্রশ্ন:

সমীকরণ \( x^3 - 5x^2 + 17x - 13 = 0 \) এর একটি মূল 1 হলে, অপর মূল দুটি কী কী?

উত্তর ও সমাধান:

ধরা যাক, সমীকরণের একটি মূল \( x = 1 \)। তাহলে, মূলটি সমীকরণের সমাধানে বসিয়ে দেখি:

\( (1)^3 - 5(1)^2 + 17(1) - 13 = 0 \)

\( 1 - 5 + 17 - 13 = 0 \)

\( 0 = 0 \)

> অর্থাৎ, সত্য, মূল \( x=1 \) সমীকরণের একটি মূল। এখন, মূলের জন্য মূল গুণফল ও মূলের যোগফল ব্যবহার করে অপর মূলগুলো নির্ণয় করব।

প্রথম ধাপ:

সমীকরণের সাধারণ রূপ:

\[ x^3 - 5x^2 + 17x - 13 = 0 \]

দ্বিতীয় ধাপ:

চেনা মূল \( r = 1 \) থাকলে, সমীকরণটি \(\text{(x - 1)}\) দ্বারা বিভাজ্য। তাই, পলিনোমিয়ালটি \( x - 1 \) দ্বারা ভাগ করে অপর অংশ নির্ণয় করব।

তৃতীয় ধাপ:

বহুগুণ বিভাজক পলিনোমিয়াল ডিভিশন বা ছক বিভাজন (Synthetic Division):

সিন্থেটিক ডিভিশন এর জন্য, মূল \( 1 \) ব্যবহার করি:

বৈশিষ্ট্য	1
কোefsিসিয়েন্টস	1 | 1 — -5 — 17 — -13
প্রবাহ
	উপাদান	1	-4	13	0

> ডিভিশনের ফলাফল: \( x^2 - 4x + 13 \)

চতুর্থ ধাপ:

অপর মূলগুলো এই quadratic সমীকরণের থেকে আসবে:

\[ x^2 - 4x + 13 = 0 \]

পঞ্চম ধাপ:

দ্বিগুণ সমীকরণটি সমাধান করি:

মূল সূত্র ব্যবহার করে:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] এখানে, \( a=1, b=-4, c=13 \)। অর্থাৎ, \[ x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \times 1 \times 13}}{2 \times 1} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 52}}{2} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{-36}}{2} \] \[ x = \frac{4 \pm 6i}{2} \] \[ x = 2 \pm 3i \] অতএব, অপর দুই মূল হলো: \[ \boxed{ x = 2 + 3i, \quad x = 2 - 3i } \]