Another Explanation (5): প্রথমে, ধরি ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ যেখানে AB = BC = CA।
প্রদত্ত বলের মান:
- 3P বলটি AB দিকের,
- 7P বলটি BC দিকের,
- 5P বলটি CA দিকের।
আমাদের লক্ষ্য হলো এই তিনটি বলের লব্ধির মান নির্ণয় করা।
ধরি, ত্রিভুজের কৌণিক কোঅর্ডিনেট ব্যবস্থা বা ভেক্টর পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করি।
### ধাপ 1: ভেক্টর নির্ণয়
ধরি, কক্ষের মধ্যে পয়েন্টগুলো:
- \(A = (0,0)\),
- \(B = (a,0)\),
- \(C = (b_x, b_y)\)।
তাহলে,
\[
\vec{AB} = (a,0),
\]
\[
\vec{BC} = (b_x - a, b_y),
\]
\[
\vec{CA} = (-b_x, -b_y).
\]
### ধাপ 2: বলের মান অনুযায়ী ভেক্টর
বলগুলো দিক অনুযায়ী শক্তি ও দিক নির্ণয় করি। বলের মান ও দিকের মধ্যে সম্পর্ক হলো:
\[
\text{বল} = \text{মোট শক্তি} \times \text{দিকের ইউনিট ভেক্টর}.
\]
অর্থাৎ,
\[
\text{বল} = \text{মান} \times \frac{\text{প্রেরিত ভেক্টর}}{\|\text{প্রেরিত ভেক্টর}\|}.
\]
### ধাপ 3: বলের ভেক্টর
- বল 3P AB দিকের, অর্থাৎ:
\[
\vec{F}_{AB} = 3P \times \frac{\vec{AB}}{\|\vec{AB}\|} = 3P \times \frac{(a,0)}{a} = (3P, 0).
\]
- বল 7P BC দিকের:
\[
\vec{F}_{BC} = 7P \times \frac{\vec{BC}}{\|\vec{BC}\|} = 7P \times \frac{(b_x - a, b_y)}{\sqrt{(b_x - a)^2 + b_y^2}}.
\]
- বল 5P CA দিকের:
\[
\vec{F}_{CA} = 5P \times \frac{\vec{CA}}{\|\vec{CA}\|} = 5P \times \frac{(-b_x, -b_y)}{\sqrt{b_x^2 + b_y^2}}.
\]
### ধাপ 4: সমবাহু ত্রিভুজের অভ্যন্তরীণ কোঅর্ডিনেট
সমবাহু ত্রিভুজের জন্য, AB = BC = CA অর্থাৎ, \(a = \text{অপেক্ষাকৃত} \), এবং C পয়েন্টের অবস্থান নির্ণয় করি যাতে ত্রিভুজের সমবাহু গঠন হয়।
উপযুক্ত অবস্থানে ধরি:
\[
A = (0,0), \quad B = (a, 0),
\]
\[
C = \left(\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}a \right),
\]
কারণ, সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা গড়ে \(\frac{\sqrt{3}}{2}a\).
অতএব,
\[
b_x = \frac{a}{2}, \quad b_y = \frac{\sqrt{3}}{2}a.
\]
### ধাপ 5: বলের ভেক্টর নির্ণয়
- \(\vec{AB} = (a, 0)\),
- \(\vec{BC} = \left(\frac{a}{2} - a, \frac{\sqrt{3}}{2}a \right) = \left(-\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}a \right)\),
- \(\vec{CA} = \left(-\frac{a}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}a \right)\).
আকার:
\[
\|\vec{AB}\| = a,
\]
\[
\|\vec{BC}\| = \sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4}} = \sqrt{a^2} = a,
\]
\[
\|\vec{CA}\| = a.
\]
### ধাপ 6: বলের ভেক্টর নির্ণয়
- AB দিকের বল:
\[
\vec{F}_{AB} = 3P \times \frac{(a, 0)}{a} = (3P, 0).
\]
- BC দিকের বল:
\[
\vec{F}_{BC} = 7P \times \frac{\left(-\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}a\right)}{a} = 7P \times \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \left(-\frac{7P}{2}, \frac{7\sqrt{3}P}{2}\right).
\]
- CA দিকের বল:
\[
\vec{F}_{CA} = 5P \times \frac{\left(-\frac{a}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)}{a} = 5P \times \left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \left(-\frac{5P}{2}, -\frac{5\sqrt{3}P}{2}\right).
\]
### ধাপ 7: লব্ধি (Resultant) ভেক্টর
অতএব, মোট লব্ধি ভেক্টর হলো:
\[
\vec{F}_{\text{total}} = \vec{F}_{AB} + \vec{F}_{BC} + \vec{F}_{CA}.
\]
সুতরাং,
\[
\vec{F}_{\text{total}} = (3P, 0) + \left(-\frac{7P}{2}, \frac{7\sqrt{3}P}{2}\right) + \left(-\frac{5P}{2}, -\frac{5\sqrt{3}P}{2}\right).
\]
একত্র করি,
**X-কম্পোনেন্ট:**
\[
3P - \frac{7P}{2} - \frac{5P}{2} = 3P - \left(\frac{7P + 5P}{2}\right) = 3P - \frac{12P}{2} = 3P - 6P = -3P.
\]
**Y-কম্পোনেন্ট:**
\[
0 + \frac{7\sqrt{3}P}{2} - \frac{5\sqrt{3}P}{2} = \frac{(7\sqrt{3}P - 5\sqrt{3}P)}{2} = \frac{2\sqrt{3}P}{2} = \sqrt{3}P.
\]
### ধাপ 8: লব্ধির মান নির্ণয়
লব্ধি ভেক্টর:
\[
\vec{F}_{\text{total}} = (-3P, \sqrt{3}P).
\]
এর মান:
\[
|\vec{F}_{\text{total}}| = \sqrt{(-3P)^2 + (\sqrt{3}P)^2} = \sqrt{9P^2 + 3P^2} = \sqrt{12P^2} = 2\sqrt{3}P.
\]
### **উত্তর:**
\[
\boxed{\text{লব্ধির মান} = 2\sqrt{3}P}.
\]
