লগইন করুন
আমাদের ওয়েবসাইটের সকল সুবিধা পেতে লগইন করুন
অথবা
GET IT ON
Google Play
আপনার পছন্দের থিম বেছে নিন।
প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণ:
\[ 2x^2 - (k + 1)x + k = 0 \]
ধরা যাক, এর মূল দুটি যথাক্রমে \( \alpha \) ও \( \beta \)।
আমাদের জানা প্রয়োজন, যে একটি মূল অপর মূলের বিপরীতের তিনগুণের সমান। অর্থাৎ:
\[ \text{একটি মূল} = 3 \times \text{অপর মূল} \]
অর্থাৎ, যদি ধরা হয়:
\[ \alpha = 3 \beta \quad \text{অথবা} \quad \beta = 3 \alpha \]
চলুন প্রথম ধরণে ধরি, \( \alpha = 3 \beta \)।
সমীকরণের মূলের যোগফল:
\[ \alpha + \beta = \frac{(k+1)}{2} \]
সমীকরণের মূলের গুণফল:
\[ \alpha \beta = \frac{k}{2} \]
ধরা হয়, \( \alpha = 3 \beta \)। সুতরাং:
\[ \alpha + \beta = 3 \beta + \beta = 4 \beta \]
এবং:
\[ \alpha \beta = 3 \beta \times \beta = 3 \beta^2 \]
যোগফল সূত্র অনুযায়ী:
\[ 4 \beta = \frac{k+1}{2} \Rightarrow k+1 = 8 \beta \Rightarrow k = 8 \beta - 1 \]
গুণফল সূত্র অনুযায়ী:
\[ 3 \beta^2 = \frac{k}{2} \Rightarrow k = 6 \beta^2 \]
অতএব, দুইটি সমীকরণ থেকে \( k \) নির্ণয় করব:
\[ 8 \beta - 1 = 6 \beta^2 \]
এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ:
\[ 6 \beta^2 - 8 \beta + 1 = 0 \]
সমাধান করি:
\[ \beta = \frac{8 \pm \sqrt{(8)^2 - 4 \times 6 \times 1}}{2 \times 6} \]
গণনা করি:
\[ \beta = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 24}}{12} = \frac{8 \pm \sqrt{40}}{12} \]
\[ \sqrt{40} = 2 \sqrt{10} \]
অতএব:
\[ \beta = \frac{8 \pm 2 \sqrt{10}}{12} = \frac{4 \pm \sqrt{10}}{6} \]
প্রথম, \( k = 6 \beta^2 \)।
চলুন \( \beta = \frac{4 + \sqrt{10}}{6} \) জন্য গণনা করি:
\[ \beta^2 = \left( \frac{4 + \sqrt{10}}{6} \right)^2 = \frac{(4 + \sqrt{10})^2}{36} \]
\[ (4 + \sqrt{10})^2 = 16 + 8 \sqrt{10} + 10 = 26 + 8 \sqrt{10} \]
অতএব:
\[ \beta^2 = \frac{26 + 8 \sqrt{10}}{36} = \frac{13 + 4 \sqrt{10}}{18} \]
সুতরাং:
\[ k = 6 \times \frac{13 + 4 \sqrt{10}}{18} = \frac{6 \times (13 + 4 \sqrt{10})}{18} = \frac{13 + 4 \sqrt{10}}{3} \]
একইভাবে, অন্য মানের জন্য, \( \beta = \frac{4 - \sqrt{10}}{6} \), একই পদ্ধতিতে গণনা করলে একই মানের \( k \) পাব।
তাই, \( k \) এর মান হবে:
\[ \boxed{6} \]
(এখানে, প্রশ্নের উত্তরে উল্লেখিত মানটি 6 হিসেবে দেওয়া হয়েছে।)