Another Explanation (5): সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ হলো:
\[
\sin^{-1}\left(\frac{2a}{1 + a^2}\right) + \frac{\cot^{-1}(1 - b^2)}{2b} = 2 \tan^{-1} x
\]
প্রথম অংশ: \(\sin^{-1}\left(\frac{2a}{1 + a^2}\right)\)
আমরা জানি:
\[
\sin(2\theta) = \frac{2a}{1 + a^2}
\]
অর্থাৎ:
\[
\sin^{-1}\left(\frac{2a}{1 + a^2}\right) = 2 \tan^{-1} a
\]
(কারণ \(\sin(2 \tan^{-1} a) = \frac{2a}{1 + a^2}\))
দ্বিতীয় অংশ: \(\frac{\cot^{-1}(1 - b^2)}{2b}\)
আমরা জানি:
\[
\cot^{-1} y = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1} y
\]
অতএব:
\[
\cot^{-1}(1 - b^2) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(1 - b^2)
\]
তাই,
\[
\frac{\cot^{-1}(1 - b^2)}{2b} = \frac{\frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(1 - b^2)}{2b}
\]
এখন, মূল সমীকরণটি পুনঃপ্রকাশ:
\[
2 \tan^{-1} a + \frac{\pi/2 - \tan^{-1}(1 - b^2)}{2b} = 2 \tan^{-1} x
\]
অংশে অংশে সমাধান:
প্রথমত, সমীকরণটি লিখি:
\[
2 \tan^{-1} a + \frac{\pi/2}{2b} - \frac{\tan^{-1}(1 - b^2)}{2b} = 2 \tan^{-1} x
\]
অথবা:
\[
2 \tan^{-1} a + \frac{\pi}{4b} - \frac{\tan^{-1}(1 - b^2)}{2b} = 2 \tan^{-1} x
\]
পরবর্তী ধাপে, \(\tan^{-1}\) এর সমন্বয়ে কাজ করি:
\[
\text{তবে, } \tan^{-1}(1 - b^2) = \tan^{-1} \left(\frac{\sin \phi}{\cos \phi}\right) \text{ (যেখানে } \phi \text{ এর মান অনুসারে)}.
\]
অথচ, লক্ষ্য হলো এই সমীকরণ থেকে \(x\) এর মান নির্ণয়।
উপসংহার:
আমরা জানি:
\[
2 \tan^{-1} a = \tan^{-1}\left(\frac{2a}{1 - a^2}\right)
\]
এবং,
\[
2 \tan^{-1} x = \tan^{-1}\left(\frac{2x}{1 - x^2}\right)
\]
তাই, মূল সমীকরণটি:
\[
\tan^{-1}\left(\frac{2a}{1 - a^2}\right) + \frac{\pi/2 - \tan^{-1}(1 - b^2)}{2b} = \tan^{-1}\left(\frac{2x}{1 - x^2}\right)
\]
এখন, \(\frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(1 - b^2) = \cot^{-1}(1 - b^2)\), যা আগেই ব্যবহৃত হয়েছে।
উপসংহার:
\[
\frac{2a}{1 - a^2} + \frac{1}{b} \cdot \cot^{-1}(1 - b^2) = \frac{2x}{1 - x^2}
\]
সাধারণত, এই ধরণের সমীকরণে, \(x\) এর মান হয় \(\frac{a + b}{1 - a b}\)।
সুতরাং:
=\frac{a + b}{1 - a b}
