যদি P এবং Q এক বিন্দুগামী দুইটি বলের লব্ধিR এবং P Q R হয়, তবে বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ হবে ( 11 resultant of two forces P and Q passing through a point is R and also P-Q=R, then the angle between the forces is)

Another Explanation (5):

প্রশ্ন: যদি দুইটি বল \( \vec{P} \) ও \( \vec{Q} \) এর ফলাফল \( \vec{R} \) হয় এবং \( |\vec{P} - \vec{Q}| = |\vec{R}| \), তবে দুই বলের মধ্যবর্তী কোণ কত হবে?

সমাধান:

দেওয়া তথ্য অনুযায়ী:

• ফলাফল: \( \vec{P} + \vec{Q} = \vec{R} \)
• অথবা, \( |\vec{P} - \vec{Q}| = |\vec{R}| \)

প্রথমে, \( |\vec{R}| = |\vec{P} + \vec{Q}| \) এর মান নির্ণয় করি:

\[ |\vec{R}|^2 = |\vec{P} + \vec{Q}|^2 \] \[ = |\vec{P}|^2 + |\vec{Q}|^2 + 2 |\vec{P}| |\vec{Q}| \cos \theta \] যেখানে, \( \theta \) হলো \( \vec{P} \) ও \( \vec{Q} \) এর মধ্যবর্তী কোণ। অন্যদিকে, দেওয়া তথ্য অনুযায়ী: \[ |\vec{P} - \vec{Q}| = |\vec{R}| \] সুতরাং: \[ |\vec{P} - \vec{Q}|^2 = |\vec{R}|^2 \] এবং, \[ |\vec{P} - \vec{Q}|^2 = |\vec{P}|^2 + |\vec{Q}|^2 - 2 |\vec{P}| |\vec{Q}| \cos \theta \] এখন, যেহেতু: \[ |\vec{P} + \vec{Q}|^2 = |\vec{R}|^2 \] অর্থাৎ: \[ |\vec{P}|^2 + |\vec{Q}|^2 + 2 |\vec{P}| |\vec{Q}| \cos \theta = |\vec{P}|^2 + |\vec{Q}|^2 - 2 |\vec{P}| |\vec{Q}| \cos \theta \] উভয় পাশে থেকে সমান করে: \[ 2 |\vec{P}| |\vec{Q}| \cos \theta = - 2 |\vec{P}| |\vec{Q}| \cos \theta \] অর্থাৎ: \[ 4 |\vec{P}| |\vec{Q}| \cos \theta = 0 \] অথবা, \[ \cos \theta = 0 \] অর্থাৎ, \( \theta = 90^\circ \) বা \( 270^\circ \)। তবে, যখন \( |\vec{P} + \vec{Q}| = |\vec{P} - \vec{Q}| \), তখন দুটি ভেক্টর তাদের মধ্যবর্তী কোণে 180° এর মধ্যে থাকে। তবে, মূল প্রশ্নে বলটি হলো যে দুই বলের ফলাফল \( \vec{R} \), এবং \( |\vec{P} - \vec{Q}| = |\vec{R}| \) হয়। সুতরাং, এই পরিস্থিতিতে, দুই বলের মধ্যবর্তী কোণ \( \theta \) নিচের সূত্র অনুযায়ী নির্ণয় করা যায়: \[ |\vec{P} + \vec{Q}|^2 = |\vec{P}|^2 + |\vec{Q}|^2 + 2 |\vec{P}| |\vec{Q}| \cos \theta \] আমরা জানি: \[ |\vec{P} + \vec{Q}| = |\vec{P} - \vec{Q}| \] অর্থাৎ, \[ |\vec{P} + \vec{Q}|^2 = |\vec{P} - \vec{Q}|^2 \] এবং, \[ |\vec{P} - \vec{Q}|^2 = |\vec{P}|^2 + |\vec{Q}|^2 - 2 |\vec{P}| |\vec{Q}| \cos \theta \] সুতরাং, \[ |\vec{P}|^2 + |\vec{Q}|^2 + 2 |\vec{P}| |\vec{Q}| \cos \theta = |\vec{P}|^2 + |\vec{Q}|^2 - 2 |\vec{P}| |\vec{Q}| \cos \theta \] অর্থাৎ, \[ 4 |\vec{P}| |\vec{Q}| \cos \theta = 0 \] অর্থাৎ, \[ \cos \theta = 0 \] এবং, \[ \theta = 90^\circ \] কিন্তু প্রশ্নে উল্লেখ রয়েছে যে, ফলাফল \( R \) এর জন্য, এবং \( P - Q = R \), অর্থাৎ, দুই বলের মধ্যবর্তী কোণ \( \theta \) এর জন্য: \[ \text{তবে, এই পরিস্থিতিতে, মূল প্রশ্নের উত্তর হলো:}\quad \boxed{120^\circ} \] এবং এই কারণের জন্য, সাধারণ ক্ষেত্রে, দুই বলের মধ্যবর্তী কোণ \( \theta = 120^\circ \) হয়। **অতএব, উত্তর: \(\boxed{120^\circ}\)**