Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে, পরাবৃত্তির সমীকরণ: \( y^2 = 4x \)
এটি একটি পরাবৃত্তি যা মূলত একটি উন্মুক্ত পরাবৃত্তি। এর সাধারণ আকার হলো \( y^2 = 4ax \), যেখানে \( a \) হলো ধনাত্মক ধন্বন্তরীণ সংখ্যা।
এখানে, \( y^2 = 4x \), অতএব, \( 4a = 4 \) থেকে, \( a = 1 \)।
প্রথমে, মূল বিন্দু নির্ণয় করি:
\[
\text{মূল বিন্দু} = (0, 0)
\]
এখন, স্পর্শকের ঢাল নির্ণয় করতে হলে, মূল বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল নির্ণয় করতে হবে। মূলত, মূল বিন্দুতে স্পর্শকের ঢালটি অনন্ত হবে যদি স্পর্শকটি পরাবৃত্তির অক্ষের সাথে লম্ব হয়।
পরাবৃত্তির গুণনীয় সমীকরণ থেকে, মূল বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল নির্ণয় করতে চাইলে, সাধারণত আমরা বিভাজ্য সূত্র বা টেঞ্জেন্টের সূত্র ব্যবহার করব। কিন্তু, যেহেতু মূল বিন্দু পরাবৃত্তির কেন্দ্রীয় বিন্দু নয় (এটি মূল বিন্দু), তাই স্পর্শকের ঢাল নির্ণয় করতে হবে:
প্রথমে, সাধারণ টেঞ্জেন্টের সূত্র ব্যবহার করি:
\( y^2 = 4ax \)
ধরা যাক, স্পর্শকটির ধ্রুবক সমীকরণ হলো:
\[
y = mx + c
\]
এবং, মূল বিন্দুতে স্পর্শকের জন্য, বিন্দুটি \( (0, 0) \), তাই:
\[
0 = m \times 0 + c \Rightarrow c = 0
\]
অর্থাৎ, স্পর্শকের সমীকরণ হলো:
\[
y = mx
\]
স্পর্শকের জন্য, পরাবৃত্তির টেঞ্জেন্টের শর্ত হলো:
\[
\text{দুটি সমীকরণের সমাধান একমাত্র হতে হবে।}
\]
অর্থাৎ, \( y^2 = 4ax \) ও \( y = mx \) এর জন্য সমাধান:
\[
(mx)^2 = 4a x
\]
\[
m^2 x^2 = 4a x
\]
এখানে, \( x \neq 0 \) হলে, বিভাজ্য করলে:
\[
m^2 x = 4a
\]
অথবা, যদি \( x = 0 \), তবে:
\[
\text{তবে, } y = m \times 0 = 0
\]
এবং, বিন্দুটি \( (0, 0) \) হয়ে যায়।
সাধারণত, টেঞ্জেন্টের শর্ত অনুযায়ী, সমাধানের একমাত্র সমাধান হলে, ডিসক্রিমিন্যান্ট শূন্য হবে:
\[
\text{প্রসঙ্গত, } y^2 - 4ax = 0
\]
\[
(mx)^2 - 4a x = 0
\]
\[
m^2 x^2 - 4a x = 0
\]
\[
x (m^2 x - 4a) = 0
\]
অর্থাৎ, বা:
1. \( x = 0 \), যা মূল বিন্দু \( (0, 0) \) নির্দেশ করে।
অথবা,
2. \( m^2 x - 4a = 0 \Rightarrow x = \frac{4a}{m^2} \)
অতএব, এই সমাধানগুলির জন্য, ডিসক্রিমিন্যান্ট শূন্য করতে হলে, মূলত, স্পর্শকের ঢাল \( m \) এর মান নির্ণয় করতে হবে।
এখন, মূল বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \( m \) এর জন্য, মূলত, ডেরিভেটিভ ব্যবহার করি:
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\text{কোনো সরলরেখা}) = m
\]
অর্থাৎ, পরাবৃত্তির টেঞ্জেন্টের ঢাল নির্ণয় করতে গেলে, মূল বিন্দুতে ডেরিভেটিভ:
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \pm 2 \sqrt{x} \right) = \pm \frac{2}{2 \sqrt{x}} = \pm \frac{1}{\sqrt{x}}
\]
যেহেতু মূল বিন্দু \( (0, 0) \), এই ডেরিভেটিভ অনন্ত বা অসীম হবে।
অতএব, মূল বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল:
\[
\boxed{\text{অসীম বা } \infty}
\]
অর্থাৎ, স্পর্শকের ঢাল অনন্ত।
**উপসংহার:**
মূল বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল অনন্ত, অর্থাৎ, \( \infty \)।
**উত্তর: \(\boxed{\infty}\)**
