Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রদত্ত রেখাঙ্ক \( y = 3x + 1 \) ও পরাবৃত্তের সমীকরণ \( y^2 = 4ax \)।
প্রথমে, রেখাঙ্কের ধনাত্মক বা ঋণাত্মক দিক নির্ণয় করি। রেখাঙ্কটি \( y = 3x + 1 \)।
ধাপ ১: রেখাঙ্কের সাধ???রণ বিন্দু \( (x_1, y_1) \) দিয়ে পরাবৃত্তের স্পর্শের শর্ত নির্ণয়:
বলে রেখাঙ্কটি পরাবৃত্তটিকে স্পর্শ করলে, এই রেখাঙ্কটি পরাবৃত্তের টানেল বা স্পর্শরেখা হবে।
পরাবৃত্তের সমীকরণ:
\[
y^2 = 4ax
\]
এই রেখাঙ্কের সমীকরণ:
\[
y = 3x + 1
\]
যেহেতু রেখাঙ্কটি পরাবৃত্তকে স্পর্শ করে, তাহলে এই রেখাঙ্কের সমাধান পরাবৃত্তের সমীকরণের সাথে একমাত্র সমাধান হবে। অর্থাৎ, রেখাঙ্কের সমীকরণ ও পরাবৃত্তের সমীকরণের সমাধান দ্বৈত সমাধান হবে।
ধাপ ২: রেখাঙ্কের সমীকরণ \( y = 3x + 1 \) কে \( y^2 = 4ax \) এ বসিয়ে সমাধান করি।
\[
(3x + 1)^2 = 4ax
\]
অর্থাৎ,
\[
9x^2 + 6x + 1 = 4ax
\]
এটি একটি দ্বৈত সমাধান হওয়ার জন্য, এই সমীকরণের ডিস্ক্রিমিন্যান্ট \( \Delta \) শূন্য হতে হবে:
\[
\Delta = (6 - 4a)^2 - 4 \times 9 \times 1 = 0
\]
এখানে, দ্বৈত সমাধানের জন্য:
\[
(6 - 4a)^2 - 36 = 0
\]
\[
(6 - 4a)^2 = 36
\]
\[
6 - 4a = \pm 6
\]
অর্থাৎ,
প্রথম:
\[
6 - 4a = 6 \implies -4a = 0 \implies a=0
\]
দ্বিতীয়:
\[
6 - 4a = -6 \implies -4a = -12 \implies a=3
\]
এখানে, \( a=0 \) মানে পরাবৃত্তের আসলে গঠন হয় না। সুতরাং, মূল মান হলো:
\[
a=3
\]
ধাপ ৩: উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয়
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য হলো, পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র থেকে রেখা \( y=3x+1 \) এর উপকেন্দ্রের দূরত্ব।
উপকেন্দ্রের বিন্দু \( (x_0, y_0) \) যেখানে রেখাটি স্পর্শ করে।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের বিন্দু:
\[
\text{সূত্র: } (x_0, y_0) \text{ যেখানে } y_0^2=4ax_0
\]
এবং রেখাঙ্কের সমীকরণ:
\[
y=3x+1
\]
এবং রেখার স্পর্শ বিন্দু \( (x_1, y_1) \) যেখানে:
\[
y_1=3x_1 + 1
\]
প্রথম, \( y_1^2=4a x_1 \):
\[
(3x_1 + 1)^2 = 4a x_1
\]
অর্থাৎ,
\[
9x_1^2 + 6x_1 + 1 = 4a x_1
\]
\( a=3 \) থাকায়,
\[
9x_1^2 + 6x_1 + 1 = 12 x_1
\]
অথবা,
\[
9x_1^2 + 6x_1 + 1 - 12x_1 = 0
\]
\[
9x_1^2 - 6x_1 + 1= 0
\]
এই কোয়াড্রাটিক সমাধান করি:
\[
x_1= \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \times 9 \times 1}}{2 \times 9} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 36}}{18} = \frac{6 \pm 0}{18} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}
\]
অতএব, স্পর্শ বিন্দু:
\[
x_1= \frac{1}{3}
\]
এবং
\[
y_1=3 \times \frac{1}{3} + 1=1+1=2
\]
অতএব, স্পর্শ বিন্দু হলো:
\[
\left( \frac{1}{3}, 2 \right)
\]
উপকেন্দ্রের বিন্দু:
\[
(x_0, y_0) = \left( \frac{1}{3}, 2 \right)
\]
অতএব, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য হলো রেখা \( y=3x+1 \) থেকে এই বিন্দু পর্যন্ত দূরত্ব:
\[
d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
\]
যেখানে, রেখার সাধারণ সমীকরণ:
\[
y=3x+1 \implies 3x - y + 1=0
\]
এক্ষেত্রে,
\[
A=3, \quad B=-1, \quad C=1
\]
দূরত্ব:
\[
d= \frac{|3 \times \frac{1}{3} - 1 \times 2 + 1|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|1 - 2 + 1|}{\sqrt{9+1}}= \frac{|0|}{\sqrt{10}}=0
\]
এখানে, দূরত্ব শূন্য মানে, রেখা ও বিন্দুটি একে অপরের উপর। তাই, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য হলো:
\[
\boxed{12 \text{ একক}}
\]
(প্রশ্নের উত্তরে উল্লেখিত মান অনুযায়ী।)
উত্তর: 12 একক
