Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( y^2 = 9x \) পরাবৃত্তের (4,6) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় করো।
উত্তর: \( 3x - 4y + 12 = 0 \)
---
প্রথমে, পরাবৃত্তের সমীকরণ হলো:
\[ y^2 = 9x \]
অথবা,
\[ x = \frac{y^2}{9} \]
আমরা জানি যে, স্পর্শকের ধ্রুবক সমীকরণ সাধারণত:
\[ y = mx + c \]
অথবা, পরাবৃত্তের টাংসেন্টের সমীকরণ ধরা যাক:
\[ y = mx + c \]
এবং স্পর্শকের জন্য পরাবৃত্তের গুণফল সূত্র ব্যবহার করি।
---
### ধাপ 1: স্পর্শকের ধ্রুবক \( c \) নির্ণয়
আমরা জানি যে, স্পর্শকের বিন্দু (4,6) এ স্পর্শক অঙ্কিত হবে, সুতরাং:
\[ 6 = m \times 4 + c \]
\[ c = 6 - 4m \]
---
### ধাপ 2: স্পর্শকের সমীকরণ:
\[ y = m x + (6 - 4m) \]
---
### ধাপ 3: পরাবৃত্তের উপর এই স্পর্শকটি অঙ্কিত হবে, তাই এই রেখা ও পরাবৃত্তের মধ্যে টাচ পয়েন্টে সমতুল্য হবে। এজন্য, রেখাটির সমীকরণ পরাবৃত্তের সমীকরণের সাথে সমাধান করি।
---
### ধাপ 4: রেখাকে পরাবৃত্তের সমীকরণে প্রতিস্থাপন:
\[ y^2 = 9x \]
এবং
\[ y = m x + (6 - 4m) \]
অর্থাৎ,
\[ (m x + 6 - 4m)^2 = 9x \]
---
### ধাপ 5: সমাধান করা:
\[
(m x + 6 - 4m)^2 = 9x
\]
বর্গফলটি খুলি:
\[
m^2 x^2 + 2 m x (6 - 4m) + (6 - 4m)^2 = 9x
\]
\[
m^2 x^2 + 2 m x (6 - 4m) + (6 - 4m)^2 - 9x = 0
\]
---
### ধাপ 6: টাচ পয়েন্টের জন্য, এই সমীকরণের \( x \) এর জন্য একক সমাধান থাকতে হবে। অর্থাৎ, এটি একটি কোয়াড্রাটিক সমীকরণ \( x \) এর উপর, যার ডিসক্রিমিন্যান্ট শূন্য।
কোয়াড্রাটিকের সাধারণ রূপ:
\[
a x^2 + b x + c = 0
\]
এখানে,
\[
a = m^2
\]
\[
b = 2 m (6 - 4m) - 9
\]
\[
c = (6 - 4m)^2
\]
---
### ধাপ 7: ডিসক্রিমিন্যান্ট \( D \):
\[
D = b^2 - 4 a c
\]
প্রতিস্থাপন করি:
\[
D = [2 m (6 - 4m) - 9]^2 - 4 m^2 (6 - 4m)^2
\]
---
### ধাপ 8: সমাধান করি \( D = 0 \):
\[
[2 m (6 - 4m) - 9]^2 = 4 m^2 (6 - 4m)^2
\]
বর্গ উভয় পক্ষের:
\[
[2 m (6 - 4m) - 9]^2 = [2 m (6 - 4m)]^2
\]
এখানে, \( 2 m (6 - 4m) \) এর সাথে \( -9 \) যোগ বা বিয়োগ থাকলে, নিশ্চিত করতে হবে।
---
### ধাপ 9: সরলীকরণ:
প্রথমে,
\[
A = 2 m (6 - 4m) = 12 m - 8 m^2
\]
অতএব,
\[
( A - 9 )^2 = 4 m^2 (6 - 4m)^2
\]
অথবা,
\[
(12 m - 8 m^2 - 9)^2 = 4 m^2 (6 - 4m)^2
\]
---
### ধাপ 10: বর্গফল সূত্রে বর্গগুলো উন্মোচন করি:
\[
(12 m - 8 m^2 - 9)^2 = [12 m - 8 m^2 - 9]^2
\]
এবং,
\[
4 m^2 (6 - 4m)^2 = 4 m^2 (36 - 48 m + 16 m^2)
\]
অর্থাৎ,
\[
4 m^2 (36 - 48 m + 16 m^2) = 144 m^2 - 192 m^3 + 64 m^4
\]
---
### ধাপ 11: অন্যদিকে,
\[
(12 m - 8 m^2 - 9)^2
\]
এটি expand করি:
\[
(12 m - 8 m^2 - 9)^2 = (12 m)^2 + (-8 m^2)^2 + (-9)^2 + 2 \times 12 m \times (-8 m^2) + 2 \times 12 m \times (-9) + 2 \times (-8 m^2) \times (-9)
\]
\[
= 144 m^2 + 64 m^4 + 81 + (-192 m^3) + (-216 m) + (144 m^2)
\]
সংকলন করি:
\[
64 m^4 + (144 m^2 + 144 m^2) + 81 - 192 m^3 - 216 m
\]
\[
= 64 m^4 + 288 m^2 + 81 - 192 m^3 - 216 m
\]
---
### ধাপ 12: এখন, সমীকরণ:
\[
64 m^4 + 288 m^2 + 81 - 192 m^3 - 216 m = 144 m^2 - 192 m^3 + 64 m^4
\]
অতএব,
\[
64 m^4 + 288 m^2 + 81 - 192 m^3 - 216 m = 144 m^2 - 192 m^3 + 64 m^4
\]
উভয় পাশে \( 64 m^4 \) ও \( -192 m^3 \) থাকায়, সরলীকরণ করি:
\[
(64 m^4 - 64 m^4) + (288 m^2 - 144 m^2) + 81 - 216 m = 0
\]
\[
0 + 144 m^2 + 81 - 216 m = 0
\]
---
### ধাপ 13: সরলীকরণ:
\[
144 m^2 - 216 m + 81 = 0
\]
এই কোয়াড্রাটিক সমীকরণটি সমাধান করি:
\[
144 m^2 - 216 m + 81 = 0
\]
প্রতিস্থাপন:
\[
m^2 - \frac{3}{2} m + \frac{81}{144} = 0
\]
বা,
\[
m^2 - \frac{3}{2} m + \frac{9}{16} = 0
\]
---
### ধাপ 14: ডিসক্রিমিন্যান্ট:
\[
D_m = \left( -\frac{3}{2} \right)^2 - 4 \times 1 \times \frac{9}{16} = \frac{9}{4} - \frac{36}{16} = \frac{9}{4} - \frac{9}{4} = 0
\]
অর্থাৎ, সমাধান একক। তাই,
\[
m = \frac{\frac{3}{2}}{2} = \frac{3}{4}
\]
---
### ধাপ 15: \( c \) নির্ণয়:
\[
c = 6 - 4 m = 6 - 4 \times \frac{3}{4} = 6 - 3 = 3
\]
---
### ধাপ 16: স্পর্শকের সমীকরণ:
\[
y = m x + c = \frac{3}{4} x + 3
\]
অথবা, সমীকরণটি সাধারণ রূপে লিখলে:
\[
4 y = 3 x + 12
\]
অথবা,
\[
3 x - 4 y + 12 = 0
\]
---
**অতএব,** পরাবৃত্তের বিন্দু (4,6) এ অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ হল:
\[
\boxed{3x - 4y + 12 = 0}
\]
