y = 4x + c সরলরেখাটি y² = 32x বক্ররেখাকে স্পর্শ করলে, c এর মান কত?

প্রথমে, সরলরেখাটি: \( y = 4x + c \)

বক্ররেখাটি: \( y^2 = 32x \)

বক্ররেখাটিকে স্পর্শ করতে হলে, তাদের অংকের সমাধান একক হতে হবে, অর্থাৎ দুইটি সমীকরণের সমাধান একক।

প্রথমে, সরলরেখা থেকে \( y \) এর মান রেখে, বক্ররেখার সমীকরণে বসাই:

\( y = 4x + c \)

\( y^2 = 32x \)

অর্থাৎ,

\((4x + c)^2 = 32x \)

বিস্তার করি:

\( 16x^2 + 8cx + c^2 = 32x \)

সমীকরণটি মানানসই করতে, সাধারণ রূপে আনি:

\( 16x^2 + 8cx + c^2 - 32x = 0 \)

এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ \(ax^2 + bx + d = 0\) এর মতো, যেখানে:

\( a = 16 \)

\( b = 8c - 32 \)

\( d = c^2 \)

বক্ররেখার স্পর্শের জন্য, এই সমীকরণের \(x\) এর জন্য একক সমাধান থাকতে হবে, অর্থাৎ ডিসক্রিমিন্যান্ট 0 হতে হবে:

\( D = b^2 - 4ad = 0 \)

অর্থাৎ,

\((8c - 32)^2 - 4 \times 16 \times c^2 = 0 \)

\((8c - 32)^2 - 64 c^2 = 0 \)

\( 64 c^2 - 512 c + 1024 - 64 c^2 = 0 \)

\( -512 c + 1024 = 0 \)

\( 512 c = 1024 \)

\( c = \frac{1024}{512} = 2 \)

অতএব, c এর মান হলো: 2