Another Explanation (5):
সমাধান
প্রদত্ত দুটি সমীকরণ:
- পরাবৃত্ত: \( y^2 = 4x \)
- সরলরেখা: \( y = x \)
ধাপ ১: ক্ষেত্রের সীমা নির্ণয়
প্রথমে, দুই সমীকরণের ছেদ বিন্দু নির্ণয় করি:
\[
y^2 = 4x \quad \text{এবং} \quad y = x
\]
প্রতিস্থাপন করি \( y = x \) এ:
\[
x^2 = 4x
\]
\[
x^2 - 4x = 0
\]
\[
x(x - 4) = 0
\]
অতএব, \( x = 0 \) অথবা \( x = 4 \)
এখন, \( y = x \), তাই ছেদ বিন্দুগুলি:
\[
\text{যখন } x=0, \quad y=0
\]
\[
\text{যখন } x=4, \quad y=4
\]
সুতরাং, ক্ষেত্রের সীমা বিন্দুগুলি হলো: \((0,0)\) থেকে \((4,4)\).
ধাপ ২: ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়
এই ক্ষেত্রটি দুইটি সমাধান রেখা দ্বারা বিভক্ত। এখানে, উপরের রেখা হল \( y = x \) এবং নিচের রেখা হল \( y^2 = 4x \Rightarrow x = \frac{y^2}{4} \)।
এখানে, \( y \) মান 0 থেকে 4 পর্যন্ত পরিবর্তিত হয়। ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য, আমরা দুটি রেখার মধ্যে ইন্টিগ্রাল করব:
\[
\text{ক্ষেত্রফল} = \int_{y=0}^{4} \left[ \text{উপরের রেখা} - \text{নিচের রেখা} \right] dy
\]
উপরের রেখা: \( x = y \)
নিচের রেখা: \( x = \frac{y^2}{4} \)
অতএব,
\[
A = \int_{0}^{4} ( y - \frac{y^2}{4} ) dy
\]
প্রথমে, এই ইন্টিগ্রাল সমাধান করি:
\[
A = \int_{0}^{4} y\, dy - \frac{1}{4} \int_{0}^{4} y^2\, dy
\]
প্রতিটি ইন্টিগ্রাল আলাদাভাবে সমাধান করি:
\[
\int_{0}^{4} y\, dy = \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^4 = \frac{16}{2} = 8
\]
\[
\int_{0}^{4} y^2\, dy = \left[ \frac{y^3}{3} \right]_0^4 = \frac{64}{3}
\]
অতএব,
\[
A = 8 - \frac{1}{4} \times \frac{64}{3} = 8 - \frac{64}{12} = 8 - \frac{16}{3}
\]
সমান করে লিখলে:
\[
A = \frac{24}{3} - \frac{16}{3} = \frac{8}{3}
\]
সুতরাং, ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হলো:
\[
\boxed{\frac{8}{3}}
\]
উত্তর: \(\frac{8}{3}\) বর্গ একক।
