Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x \, dx = \text{কত?}\)
উত্তর: \(\frac{\pi}{4}\)
সমাধান:
প্রথমে, আমাদের ইন্টিগ্রালটি হলো:
\[
I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x \, dx
\]
আমরা \(\cos^2 x\) এর জন্য ট্রিগোনোমেট্রিক আইডেনটিটি ব্যবহার করব:
\[
\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}
\]
অতএব,
\[
I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2x}{2} \, dx
\]
এখন, এই ইন্টিগ্রালকে আলাদা করে লিখি:
\[
I = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2x) \, dx
\]
এখন, ইন্টিগ্রাল দুটি আলাদাভাবে নেওয়া যায়:
\[
I = \frac{1}{2} \left( \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx + \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x \, dx \right)
\]
প্রথম ইন্টিগ্রাল:
\[
\int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx = \left[ x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}
\]
দ্বিতীয় ইন্টিগ্রাল:
\[
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x \, dx = \left[ \frac{\sin 2x}{2} \right]_0^{\frac{\pi}{2}}
\]
এখানে,
\[
\left[ \frac{\sin 2x}{2} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\sin (\pi)}{2} - \frac{\sin 0}{2} = \frac{0}{2} - 0 = 0
\]
অতএব,
\[
I = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} + 0 \right) = \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}
\]
অতএব, উত্তর হলো:
\[
\boxed{\frac{\pi}{4}}
\]
