Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\int \sin^2 4x\, dx = ?\)
উত্তর: \(\frac{1}{16}(8x - \sin 8x) + C\)
সমাধান:
- প্রথমে, আমরা \(\sin^2 4x\) এর জন্য পরিচিত সূত্র ব্যবহার করব:
\( \sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \)
- এখানে, \(\theta = 4x\), তাই:
\[
\sin^2 4x = \frac{1 - \cos 8x}{2}
\]
- এখন, ইনটেগ্রালটি রূপান্তর করি:
\[
\int \sin^2 4x\, dx = \int \frac{1 - \cos 8x}{2}\, dx
\]
\[
= \frac{1}{2} \int (1 - \cos 8x)\, dx
\]
- প্রতিটি উপাদানের জন্য আলাদা আলাদা ইনটেগ্রাল করি:
\[
= \frac{1}{2} \left( \int 1\, dx - \int \cos 8x\, dx \right)
\]
- প্রথমটি:
\[
\int 1\, dx = x
\]
- দ্বিতীয়টি:
\[
\int \cos 8x\, dx = \frac{\sin 8x}{8}
\]
কারণ, \(\int \cos kx\, dx = \frac{\sin kx}{k}\)
- অতএব, সমাধান:
\[
\frac{1}{2} \left( x - \frac{\sin 8x}{8} \right) + C
\]
- সরলীকরণ করে:
\[
\frac{1}{2} x - \frac{1}{16} \sin 8x + C
\]
- অতএব, মূল ইনটেগ্রাল:
\[
\int \sin^2 4x\, dx = \frac{1}{2} x - \frac{1}{16} \sin 8x + C
\]
- অথবা, লিখতে পারি:
\[
\boxed{\frac{1}{16}(8x - \sin 8x) + C}
\]
