Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রশ্ন: \(\int_0^{\pi/4} \cos^2(2x) \, dx\)
প্রথমে, \(\cos^2(2x)\) এর জন্য পরিচিত ট্রিগোনোমেট্রিক পরিচিতি ব্যবহার করব:
\[
\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}
\]
অতএব,
\[
\cos^2(2x) = \frac{1 + \cos 4x}{2}
\]
তাই,
\[
\int_0^{\pi/4} \cos^2(2x) \, dx = \int_0^{\pi/4} \frac{1 + \cos 4x}{2} \, dx
\]
এখন, ইন্টিগ্রালটি দুটি ভাগে বিভক্ত করব:
\[
= \frac{1}{2} \int_0^{\pi/4} 1 \, dx + \frac{1}{2} \int_0^{\pi/4} \cos 4x \, dx
\]
প্রথম ইন্টিগ্রাল:
\[
\int_0^{\pi/4} 1 \, dx = \left[ x \right]_0^{\pi/4} = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}
\]
দ্বিতীয় ইন্টিগ্রাল:
\[
\int_0^{\pi/4} \cos 4x \, dx = \left[ \frac{\sin 4x}{4} \right]_0^{\pi/4}
\]
যেখানে,
\[
\sin 4x \big|_{x=\pi/4} = \sin (4 \times \frac{\pi}{4}) = \sin \pi = 0
\]
\[
\sin 4x \big|_{x=0} = \sin 0 = 0
\]
অতএব,
\[
\int_0^{\pi/4} \cos 4x \, dx = \frac{1}{4} (0 - 0) = 0
\]
সব মিলিয়ে,
\[
\int_0^{\pi/4} \cos^2(2x) \, dx = \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \times 0 = \frac{\pi}{8}
\]
**অতএব, এর মান হলো:**
\[
\boxed{\frac{\pi}{8}}
\]
