x²/25+y²/9=1 উপবৃত্তের সমীকরণ হলে উহার—

1. উৎকেন্দ্রিকতা 3/5
2. বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য 10
3. উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (±4,0)

নিচের কোনটি সঠিক? 

প্রশ্নের বিশ্লেষণ ও সমাধান

প্রদত্ত উপবৃত্তের সমীকরণ:

\[ \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1 \]

উপবৃত্তের মূল বৈশিষ্ট্যসমূহ:

• অক্ষের দৈর্ঘ্য (Major axis):
  সাধারণভাবে, উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\) হলে, যেখানে \(a > b\)।
• অক্ষের দৈর্ঘ্য = \(2a\)।
• উৎকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক = \((\pm c, 0)\), যেখানে \(c = \sqrt{a^{2} - b^{2}}\)।

প্রশ্নে দেওয়া মান:

• উৎকেন্দ্রিকতা \(e = \frac{c}{a}\)
  যেখানে \(c = \sqrt{a^{2} - b^{2}}\)
• বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য 10
  অর্থাৎ, \(2a = 10 \Rightarrow a = 5\)
• উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\pm 4, 0)\)
  অর্থাৎ, \(c = 4\)

সমাধান:

প্রথমে, \(a\) মান নির্ণয় করি:

\(a = 5\)

উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্কের সূত্র অনুযায়ী:

\(c = \sqrt{a^{2} - b^{2}}\)

এবং, \(c = 4\), তাই:

\(\sqrt{25 - b^{2}} = 4\)

দুটি পক্ষের বর্গ করি:

\(25 - b^{2} = 16\)

অতএব:

\(b^{2} = 25 - 16 = 9\)

অর্থাৎ, \(b = 3\)

উৎকেন্দ্রিকতা \(e\) নির্ণয়:

\(e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5} = \frac{4}{5} = 0.8\)

অথবা, \(\frac{4}{5} = \frac{3}{5}\) এর মতো নয়। তবে, প্রশ্নে দেওয়া বিকল্প অনুযায়ী, উক্ত বিকল্পে বলা হয়েছে "উৎকেন্দ্রিকতা 3/5"।

তাই:

• উৎকেন্দ্রিকতা: \(\frac{4}{5}\) (অর্থাৎ 0.8)
• বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য: 10 (সঠিক)
• উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক: \((\pm 4, 0)\) (সঠিক)

অতএব, নিচের যে বিবৃতি সঠিক:

• ii (বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য 10)
• iii (উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (±4,0))

অতএব, উত্তর: ii ও iii