Another Explanation (5): প্রশ্নের সমাধান
প্রশ্নটি হলো:
একটি বৃত্তের সমীকরণ \(x^2 + y^2 = a^2\), যেখানে কেন্দ্র (0,0) এবং ব্যাসার্ধ \(a\)।
এবং প্রশ্নে উল্লেখ আছে: "90° কোণ সৃষ্টিকারী জ্যা সমূহের মধ্যবিন্দুর সঞ্চার পথের সমীকরণ কোনটি।"
অর্থাৎ, জ্যা সমূহ হলো দুইটি সরল রেখা যা বৃত্তের কেন্দ্র (0,0) থেকে 90° কোণে বিভক্ত করে।
প্রতিটি জ্যা সমূহের সমীকরণ হবে ধ্রুবকের সমীকরণ, যেখানে দুটি জ্যা সমূহের মধ্যবিন্দু থেকে সেগুলির মধ্যবিন্দু দিয়ে যাওয়া লাইনটির সমীকরণ খুঁজে বের করতে হবে।
সমাধান:
প্রথমে, দুটি জ্যা সমূহের সমীকরণ নির্ণয় করি।
চলার জন্য, ধরা যাক, একটি জ্যা সমূহের সমীকরণ হলো:
\[
y = m x
\]
এবং অন্যটি তার জন্যে:
\[
y = -\frac{1}{m} x
\]
যেহেতু এই দুটি রেখা 90° কোণে বিভাজিত, তারা পারস্পরিক লম্ব, অতএব, তাদের ধ্রুবক সম্পর্ক হলো:
\[
m \times \left(-\frac{1}{m}\right) = -1
\]
সুতরাং, এই দ??ই জ্যা সমূহের মধ্যবিন্দু তাদের মধ্যবিন্দুর সমীকরণ খুঁজতে হবে।
চলুন, ধরা যাক, দুইটি রেখার মধ্যবিন্দু হলো \(M(x_m, y_m)\)।
প্রতিটি রেখার সমীকরণের জন্য, এই রেখাগুলির মধ্যবিন্দু দিয়ে যাওয়া পথের সমীকরণ খুঁজব।
এখন, বৃত্তের কেন্দ্র 0,0 থেকে এই রেখাগুলির মধ্যবিন্দু অতিক্রম করে।
অতএব, এই মধ্যবিন্দুগুলো হল প্রতিটি রেখার জন্য:
\[
\text{অর্থাৎ,} \quad M \text{ হলো রেখাগুলির মধ্যবিন্দু।}
\]
চলুন, দুইটি রেখার সমীকরণ ধরা যাক:
\[
\text{রেখা 1:} \quad y = m x
\]
\[
\text{রেখা 2:} \quad y = -\frac{1}{m} x
\]
অর্থাৎ, তাদের মধ্যবিন্দু হলো:
\[
x_m = \frac{x_1 + x_2}{2}
\]
\[
y_m = \frac{y_1 + y_2}{2}
\]
কিন্তু, এই রেখাগুলির উপর যে বিন্দু \( (x, y) \), সেটি এই রেখাগুলির জন্য সত্য।
এখানে, আমরা জানি যে, এই রেখাগুলির মধ্যবিন্দু থেকে সঞ্চার পথের সমীকরণ খুঁজতে হবে।
এখন, এই রেখাগুলির মধ্যবিন্দু \(M\) এর অবস্থান নির্ণয়ের জন্য, এই রেখাগুলির যে মধ্যবিন্দু, তা হবে বৃত্তের কেন্দ্রের উপর।
অতএব, এই মধ্যবিন্দু \(M\) এর সমীকরণ হলো:
\[
x^2 + y^2 = R^2
\]
এবং, এই সমীকরণের জন্য, \(R\) হলো সঞ্চার পথের দূরত্ব যা এই মধ্যবিন্দু থেকে বৃত্তের কেন্দ্রের দূরত্ব।
এখন, এই রেখাগুলির মধ্যবিন্দু দিয়ে যাওয়া পথের সমীকরণ খুঁজতে হলে, আমরা ধরি যে, এই পথের সমীকরণ হবে:
\[
\text{Line passing through the origin and the midpoint} \Rightarrow \text{Midpoint of the two diametrically opposite points}
\]
সুতরাং, এই দুই রেখার মধ্যবিন্দুর সমীকরণ হলো:
\[
\text{দুটি রেখার মধ্যবিন্দুতে} \quad \text{সঞ্চার পথের সমীকরণ} \quad \text{হবে:}
\]
এবং, এই সমীকরণটি হবে যেখানে \(x^2 + y^2 = \frac{a^2}{2}\) এর সমান।
অতএব, মূল সমাধান অনুযায়ী,
সঞ্চার পথের সমীকরণ হলো:
\[
\boxed{2(x^2 + y^2) = a^2}
\]
উপসংহার:
সঞ্চার পথের সমীকরণ হলো:
\(2(x^2 + y^2) = a^2\)
