Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(x^2 - 3y^2 = 4\) কনিকের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য কত?
আমরা প্রথমে উল্লেখ্য যে, এই সমীকরণটি একটি হাইপারবোলার এর সমীকরণঃ
\[
x^2 - 3y^2 = 4
\]
ধাপ ১: সাধারণ রূপে রূপান্তর
আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, এটি একটি স্ট্যান্ডার্ড হাইপারবোলার, যেখানে কেন্দ্রে অবস্থিত, কারণ সমীকরণের এক পাশে মূল মান আছে। সাধারণত, হাইপারবোলার এর সমীকরণ এই রূপে লেখা হয়:
\[
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1
\]
অতএব, সমীকরণটি নিম্নরূপে রূপান্তর করি:
\[
x^2 - 3 y^2 = 4
\]
অর্থাৎ,
\[
\frac{x^2}{4} - \frac{3 y^2}{4} = 1
\]
এখানে,
\[
a^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad a = 2
\]
এবং,
\[
\frac{3 y^2}{4} = \frac{y^2}{b^2}
\]
অর্থাৎ,
\[
b^2 = \frac{4}{3}
\]
অতএব,
\[
b = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}
\]
ধাপ ২: উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য
উপকেন্দ্রিক হাইপারবোলার এর জন্য, লম্বের দৈর্ঘ্য (transverse axis length) হলো:
\[
2a
\]
এখানে,
\[
a = 2
\]
অতএব, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য:
\[
2a = 2 \times 2 = 4
\]
উত্তর:
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য = 4
