Another Explanation (5): সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ: \[ x^2 - y^2 = 2 \]
এটি একটি একচূড়া (hyperbola) এর সমীকরণ, যেখানে কেন্দ্র (center) হলো (0,0), এবং এটি x-অক্ষের উপর অবস্থিত। এখন এই হাইপারবোলার বৈশিষ্ট্যগুলো নির্ণয় করি।
১. উৎপকেন্দ্রিকতা (Eccentricity):
একটি হাইপারবোলার এর সমীকরণ সাধারণ রূপে:
\[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
এখানে, সমীকরণ অনুযায়ী:
\[ a^2 = 2 \]
অর্থাৎ,
\[ a = \sqrt{2} \]
অতএব, উৎপকেন্দ্রিকতা:
\[ e = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a} \]
প্রশ্নে আরও জানানো হয়নি \(b\) এর মান, তবে সাধারণত এই ধরনের প্রশ্নে, যদি \(b\) এর মান না দেওয়া হয়, তাহলে আমরা অনুমান করি যে \(b^2 = a^2 = 2\), কারণ এগুলো সাধারণ মান। তবে, যদি নির্দিষ্ট না হয়, তবে অন্য পদ্ধতিতে হিসাব করতে হবে। তবে এই প্রশ্নে, উৎপকেন্দ্রিকতা নির্ণয় করার জন্য, সাধারণত, \(b\) এর মান দিয়ে হিসাব করতে হয়।
তাই, যদি ধরি \(b^2 = a^2 = 2\), তবে:
\[ e = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a} = \frac{\sqrt{2 + 2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \]
অতএব, উৎপকেন্দ্রিকতা:
\[ \boxed{e = \sqrt{2}} \]
**তাই, প্রথম বিবৃতি সঠিক।**
২. নাভিলম্বের দৈর্ঘ্য (Length of latus rectum):
লেটুস রেক্টাম (Latus Rectum) এর দৈর্ঘ্য:
\[ \text{Length} = \frac{2b^2}{a} \]
যেখানে, \(a^2=2\), \(b^2=2\), তাই:
\[ \text{Length} = \frac{2 \times 2}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \]
অতএব, নাভিলম্বের দৈর্ঘ্য:
\[ \boxed{2\sqrt{2}} \]
**দ্বিতীয় বিবৃতি সঠিক।**
৩. আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য (Transverse axis length):
অর্থাৎ, x-অক্ষের অক্ষের দৈর্ঘ্য:
\[ 2a = 2 \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \]
তবে প্রশ্নের উল্লেখিত বিবৃতি: "আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য= 2" এটাই সঠিক নয়, কারণ আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(2a = 2\sqrt{2}\)।
অতএব, তৃতীয় বিবৃতি ভুল।
উপসংহার:
উল্লেখিত বিবৃতিগুলোর মধ্যে, প্রথম ও দ্বিতীয় বিবৃতি সঠিক। সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো:
i ও ii
