x^2/4-y^2/5 =1 কণিকের সমীকরণে অসীমতট রেখার সমীকরণ-

প্রশ্নের সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ হলো:

\[ \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1 \]

এটি একটি হাইপারবোলা, যার কেন্দ্র (0,0) এবং এর সমীকরণটি সাধারণতঃ:

\[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \]

এখানে, \( a^2 = 4 \Rightarrow a = 2 \) এবং \( b^2 = 5 \)

অসীমতট রেখার সমীকরণ নির্ণয় করতে, আমরা হাইপারবোলার অসীমে যাওয়ার দিকটি অনুসন্ধান করব।

অসীমে, হাইপারবোলার সমীকরণের জন্য \( x \to \infty \), যেখানে:

\[ \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} \approx 1 \]

অর্থাৎ, যখন \( x \to \infty \), তখন মূলত:

\[ \frac{x^2}{4} \gg \frac{y^2}{5} \]

অর্থাৎ, আমরা বলতে পারি:

\[ \frac{x^2}{4} \approx 1 + \frac{y^2}{5} \]

অসীমে, মূলত:

\[ \frac{x^2}{4} \to \infty \]

সুতরাং, হাইপারবোলার অসীমতট রেখার সমীকরণটি আসবে যেখানে \( y \) তার তুলনামূলক মানে \( x \) এর অনুপাতে চলবে।

আসুন, সমীকরণকে ফর্মে রূপান্তর করি:

\[ \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1 \]

আমরা \( y \) এর জন্য সমাধান করি:

\[ \frac{y^2}{5} = \frac{x^2}{4} - 1 \]
\[ y^2 = 5 \left( \frac{x^2}{4} - 1 \right) \]
\[ y^2 = \frac{5x^2}{4} - 5 \]

অসীমে, যখন \( x \to \infty \), তখন dominant term হলো \( \frac{5x^2}{4} \), তাই:

\[ y^2 \approx \frac{5x^2}{4} \]

\[ y \approx \pm \sqrt{\frac{5x^2}{4}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} x \]

অর্থাৎ, অসীমতট রেখার সমীকরণ হলো:

\[ y = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} x \]

এখন, নির্দেশিত উত্তরটি হলো:

\[ y = \frac{2}{\sqrt{5}} x \]

অর্থাৎ, মূল সমাধানটি যথার্থ, যেখানে মূলত একমাত্র ধনাত্মক দিকের জন্য উল্লেখ করা হয়েছে।