ম্যাট্রিক্স (AB)^t নির্ণয়

যদি A ও B দুটি ম্যাট্রিক্স হয়, তবে (AB)^t = B^tA^t হবে। নিচে এর প্রমাণ দেওয়া হল:

প্রমাণ:

ধরা যাক, A একটি m × n ম্যাট্রিক্স এবং B একটি n × p ম্যাট্রিক্স।

তাহলে, AB একটি m × p ম্যাট্রিক্স হবে।

সুতরাং, (AB)^t একটি p × m ম্যাট্রিক্স হবে।

এখন, A^t হবে n × m ম্যাট্রিক্স এবং B^t হবে p × n ম্যাট্রিক্স।

সুতরাং, B^tA^t একটি p × m ম্যাট্রিক্স হবে।

i তম সারি এবং j তম কলামের উপাদান:

(\( (AB)^t \))_{ij} = (AB)_{ji}

আবার,

(\( B^t A^t \))_{ij} = \(\sum_{k=1}^{n} (B^t)_{ik} (A^t)_{kj} \)

= \(\sum_{k=1}^{n} B_{ki} A_{jk} \)

= \(\sum_{k=1}^{n} A_{jk} B_{ki} = (AB)_{ji}\)

সুতরাং, \( (AB)^t \))_{ij} = (\( B^t A^t \))_{ij} \)

অতএব, (AB)^t = B^tA^t প্রমাণিত।🎉

উদাহরণ:

ধরা যাক, \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \) এবং \( B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \)

তাহলে, \( AB = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix} \)

সুতরাং, \( (AB)^t = \begin{bmatrix} 19 & 43 \\ 22 & 50 \end{bmatrix} \)

আবার, \( A^t = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \) এবং \( B^t = \begin{bmatrix} 5 & 7 \\ 6 & 8 \end{bmatrix} \)

তাহলে, \( B^t A^t = \begin{bmatrix} 19 & 43 \\ 22 & 50 \end{bmatrix} \)

সুতরাং, (AB)^t = B^tA^t 🥳