Another Explanation (5):
সরল ছন্দিত গতি সম্পন্ন কণার সরণ এবং গতি নির্ণয়
প্রদত্ত:
- সরল ছন্দিত গতির সমীকরণ: \( x = A \sin\left(\frac{\pi t}{T} + \frac{\pi}{4}\right) \)
- পর্যায়কাল, \( T = 5 \) সেকেন্ড
- সময়, \( t = 1.25 \) সেকেন্ড
- বিস্তার, \( A = 10 \) একক (উত্তর থেকে নেওয়া হয়েছে)
১. সরণ নির্ণয়:
\( t = 1.25 \) সেকেন্ড সময়ে কণাটির সরণ \( x \) হবে:
\[ x = A \sin\left(\frac{\pi t}{T} + \frac{\pi}{4}\right) \]
এখানে, \( A = 10 \), \( t = 1.25 \) এবং \( T = 5 \) বসালে,
\[ x = 10 \sin\left(\frac{\pi \times 1.25}{5} + \frac{\pi}{4}\right) \]
\[ x = 10 \sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}\right) \]
\[ x = 10 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \]
\[ x = 10 \times 1 \]
\[ x = 10 \text{ একক} \]
সুতরাং, 1.25 সেকেন্ডে কণাটির সরণ 10 একক। 🎉
২. বেগ নির্ণয়:
বেগ \( v \) নির্ণয় করার জন্য, প্রথমে সরণের সমীকরণটিকে সময়ের সাপেক্ষে অন্তরকলন (differentiate) করতে হবে:
\[ v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} \left[ A \sin\left(\frac{\pi t}{T} + \frac{\pi}{4}\right) \right] \]
\[ v = A \cdot \frac{\pi}{T} \cdot \cos\left(\frac{\pi t}{T} + \frac{\pi}{4}\right) \]
এখন, \( A = 10 \), \( T = 5 \) এবং \( t = 1.25 \) বসালে:
\[ v = 10 \cdot \frac{\pi}{5} \cdot \cos\left(\frac{\pi \times 1.25}{5} + \frac{\pi}{4}\right) \]
\[ v = 2\pi \cdot \cos\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}\right) \]
\[ v = 2\pi \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) \]
\[ v = 2\pi \cdot 0 \]
\[ v = 0 \text{ একক/সেকেন্ড} \]
সুতরাং, 1.25 সেকেন্ডে কণাটির বেগ 0 একক/সেকেন্ড। 🥳
