একটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু A(5,11),B(-12,5) এবং C(-7,17) হলে,∠ACB এর মান কত?

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু A(5,11), B(-12,5) এবং C(-7,17) হলে, ∠ACB এর মান কত?

উত্তর: "π/2"

সমাধান:

প্রথমে, আমরা 🡺 B থেকে C এবং C থেকে A এর দিকের ঋণু (slope) নির্ণয় করব।

স্লোপ (প্রবণতা):

• BC এর জন্য:

\[ m_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{17 - 5}{-7 - (-12)} = \frac{12}{5} \]

• AC এর জন্য:

\[ m_{AC} = \frac{17 - 11}{-7 - 5} = \frac{6}{-12} = -\frac{1}{2} \]

অতএব,

slopes এর ব্যবধান দিয়ে ∠ACB এর কোণের কোণ নির্ণয় করব।

তাদের মধ্যবর্তী কোণের ট্যাঞ্জেন্ট:

\[ \tan \theta = \left| \frac{m_{BC} - m_{AC}}{1 + m_{BC} \times m_{AC}} \right| \]

প্রতিস্থাপন করে:

\[ \tan \theta = \left| \frac{\frac{12}{5} - \left(-\frac{1}{2}\right)}{1 + \frac{12}{5} \times \left(-\frac{1}{2}\right)} \right| = \left| \frac{\frac{12}{5} + \frac{1}{2}}{1 - \frac{12}{5} \times \frac{1}{2}} \right| \]

সাধারন করার জন্য, মানগুলো সমাধান করি:

\[ \frac{12}{5} + \frac{1}{2} = \frac{24}{10} + \frac{5}{10} = \frac{29}{10} \]

এবং,

\[ 1 - \frac{12}{5} \times \frac{1}{2} = 1 - \frac{12}{5} \times \frac{1}{2} = 1 - \frac{12}{10} = 1 - \frac{6}{5} = \frac{5}{5} - \frac{6}{5} = -\frac{1}{5} \]

অতএব,

\[ \tan \theta = \left| \frac{\frac{29}{10}}{-\frac{1}{5}} \right| = \left| \frac{29}{10} \times \frac{5}{-1} \right| = \left| -\frac{145}{10} \right| = \frac{145}{10} = 14.5 \]

তাই, ∠ACB এর মান:

\[ \theta = \arctan(14.5) \approx \frac{\pi}{2} \]

অর্থাৎ, ∠ACB প্রায় 90° বা \(\frac{\pi}{2}\) রেডিয়ান।