4(x² + y²) = 16x + 12y – 5 একটি বৃত্ত ।
বৃত্তটি দ্বারা x অক্ষের খণ্ডিত অংশের পরিমাণ কত একক?
Another Explanation (5): প্রশ্ন: 4(x² + y²) = 16x + 12y – 5 একটি বৃত্ত।বৃত্তটি দ্বারা x অক্ষের খণ্ডিত অংশের পরিমাণ কত একক?
সমাধান:
প্রথমে সমীকরণটি সাধারণ বৃত্তের রূপে রূপান্তর করি।
প্রদত্ত সমীকরণ:
\[ 4(x^2 + y^2) = 16x + 12y - 5 \]
দুটি পাশে 4 দ্বারা ভাগ করি:
\[ x^2 + y^2 = 4x + 3y - \frac{5}{4} \]
এখন, বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় করি। এর জন্য, যথাক্রমে \(x\) ও \(y\) এর জন্য পূর্ণবর্গ সম্পূর্ণ করি।
- \(x\) এর জন্য:
\[ x^2 - 4x \]
পূর্ণবর্গের জন্য:
\[ x^2 - 4x + 4 - 4 = (x - 2)^2 - 4 \]
- \(y\) এর জন্য:
\[ y^2 - 3y \]
পূর্ণবর্গের জন্য:
\[ y^2 - 3y + \frac{9}{4} - \frac{9}{4} = (y - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} \]
সমীকরণে এই মানগুলি প্রতিস্থাপন করি:
\[ (x - 2)^2 - 4 + (y - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} = - \frac{5}{4} \]
সংকলন করি:
\[ (x - 2)^2 + (y - \frac{3}{2})^2 = - \frac{5}{4} + 4 + \frac{9}{4} \]
বাম পাশে:
\[ (x - 2)^2 + (y - \frac{3}{2})^2 \]
ডান পাশে:
\[ - \frac{5}{4} + \frac{16}{4} + \frac{9}{4} = \frac{20}{4} = 5 \]
অতএব,
\[ (x - 2)^2 + (y - \frac{3}{2})^2 = 5 \]
এটি একটি বৃত্তের সমীকরণ যেখানে:
- কেন্দ্র \( C(2, \frac{3}{2}) \)
- ব্যাসার্ধ \( r = \sqrt{5} \)
অতএব, বৃত্তের x অক্ষের খণ্ডিত অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে।
x অক্ষের সঙ্গে বৃত্তের কIntersection পয়েন্টগুলি খুঁজি যেখানে \( y=0 \):
সমীকরণে \( y=0 \) বসাই:
\[ (x - 2)^2 + (0 - \frac{3}{2})^2 = 5 \]
\[ (x - 2)^2 + \left( - \frac{3}{2} \right)^2 = 5 \]
\[ (x - 2)^2 + \frac{9}{4} = 5 \]
\[ (x - 2)^2 = 5 - \frac{9}{4} = \frac{20}{4} - \frac{9}{4} = \frac{11}{4} \]
সুতরাং,
\[ x - 2 = \pm \sqrt{\frac{11}{4}} = \pm \frac{\sqrt{11}}{2} \]
অর্থাৎ,
\[ x = 2 \pm \frac{\sqrt{11}}{2} \]
এখানে দুইটি ইন্টারসেকশন পয়েন্ট:
\[ x_1 = 2 + \frac{\sqrt{11}}{2} \]
\[ x_2 = 2 - \frac{\sqrt{11}}{2} \]
অর্থাৎ, x অক্ষের খণ্ডের দৈর্ঘ্য:
\[ \Delta x = x_1 - x_2 = \left( 2 + \frac{\sqrt{11}}{2} \right) - \left( 2 - \frac{\sqrt{11}}{2} \right) = \frac{\sqrt{11}}{2} + \frac{\sqrt{11}}{2} = \sqrt{11} \]
যেহেতু x অক্ষের খণ্ডটি বৃত্তের অংশ এবং এই অংশটি সরাসরি x-অক্ষের উপর অবস্থিত, এর দৈর্ঘ্য হবে:
**অর্থাৎ, x অক্ষের খণ্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য = \(\sqrt{11}\) একক।**
**উত্তর: \(\sqrt{11}\)**
