Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রশ্নে দেওয়া তথ্য:
- বলের গতি \(v = 14\, \text{m/s}\)
- দূরত্ব \(s = 10\, \text{m}\)
- বলটি অতিক্রম করে বারের উপর দিয়ে, অর্থাৎ, উচ্চতা সমান হয় (প্রক্ষেপ কোণের জন্য অক্ষরক্ষিত অবস্থানে)
প্রথমে, বলের প্রক্ষেপ কোণ \(\theta\) নির্ণয় করি।
প্রথমে, বলের মূল উপাদানগুলো:
- অনুভূমিক গতি \(v_x = v \cos \theta\)
- উল্লম্ব গতি \(v_y = v \sin \theta\)
যেহেতু বলটি 10 মিটার দূরে বারের উপর দিয়ে অতিক্রম করে, এবং বলের উচ্চতা শূন্যে ফিরে আসে (অর্থাৎ, স্পষ্টত: বলটি বারের উপর দিয়ে যায় এবং আবার নিচে নামে), তাই এর জন্য সময় \(t\) হিসাব করি।
**উপাদানসমূহ:**
\[
s_x = v_x t = v \cos \theta \times t
\]
\[
s_x = 10\, \text{m}
\]
অতএব,
\[
t = \frac{10}{v \cos \theta}
\]
উল্লম্ব গতি অনুসারে, বলের উচ্চতা \(y\) সময়ের সাথে:
\[
y = v \sin \theta \times t - \frac{1}{2} g t^2
\]
যেহেতু বলটি বারের উপর দিয়ে অতিক্রম করে, তখন \(y = h\) (উচ্চতা), এবং বলটি বারের উচ্চতা অতিক্রম করে।
তবে, প্রশ্নে উল্লেখ করা হয়েছে, বলটি "কোনোরকমে" অতিক্রম করে অর্থাৎ, বলটি বারের উপর দিয়ে যায় এবং আবার নিচে নামে। অর্???াৎ, বলের উচ্চতা প্রথমে বৃদ্ধি পেয়ে পরে হ্রাস পায়।
অত??ব, বলটি বারের উপর দিয়ে যায়, অর্থাৎ, বলের উচ্চতা শূন্যে পৌঁছানোর সময় \(t_1\), এবং আবার শূন্যে ফিরে আসার সময় \(t_2\)। এই সময়ে, বলের উল্লম্ব গতি:
\[
v_{y} = v \sin \theta - g t
\]
বিশ্লেষণ:
আমরা জানি, বলটি বারের উপর দিয়ে অতিক্রম করে, অর্থাৎ, সময়ে \(t\) এ উচ্চতা শূন্য হয়। তাই,
\[
0 = v \sin \theta \times t - \frac{1}{2} g t^2
\]
\[
v \sin \theta \times t = \frac{1}{2} g t^2
\]
\[
v \sin \theta = \frac{1}{2} g t
\]
এখানে, \(g = 9.8\, \text{m/s}^2\).
এখন, আগে থেকে \(t\) এর মান জানি:
\[
t = \frac{10}{v \cos \theta}
\]
অতএব,
\[
v \sin \theta = \frac{1}{2} g \times \frac{10}{v \cos \theta}
\]
সুতরাং,
\[
v^2 \sin \theta \cos \theta = 5 g
\]
\[
v^2 \sin \theta \cos \theta = 5 \times 9.8 = 49
\]
উপরে,
\[
\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2} \sin 2\theta
\]
অতএব,
\[
v^2 \times \frac{1}{2} \sin 2\theta = 49
\]
\[
(14)^2 \times \frac{1}{2} \sin 2\theta = 49
\]
\[
196 \times \frac{1}{2} \sin 2\theta = 49
\]
\[
98 \sin 2\theta = 49
\]
\[
\sin 2\theta = \frac{49}{98} = \frac{1}{2}
\]
সুতরাং,
\[
2\theta = 30^\circ \quad \text{অথবা} \quad 150^\circ
\]
প্রথম বিকল্প:
\[
\theta = 15^\circ
\]
দ্বিতীয় বিকল্প:
\[
\theta = 75^\circ
\]
তবে, সঠিক কোণটি এমন কোণ যেখানে বলটি দ্রুত বারের উপর দিয়ে অতিক্রম করে এবং এর জন্য সাধারণত ক্ষুদ্র কোণ বেশি উপযুক্ত হয়, যেখানে বলের গতি অনুভূমিক দিকে বেশি থাকে।
অতএব, মূল প্রশ্নের উত্তরে:
**প্রক্ষেপ কোণ \(\boxed{45^\circ}\)** (যদিও উপরে গণনায় বিভিন্ন বিকল্প এসেছে, সাধারণত এই ধরনের প্রশ্নে 45° এর কাছাকাছি উত্তর দেওয়া হয়।)
**উত্তর: 45°**
