Another Explanation (5): প্রশ্নে উল্লেখিত শীর্ষবিন্দুগুলো হলো: \(A(3,2)\), \(B(3,10)\), \(C(-5,2)\)।
প্রথমে এই ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল, ভরকেন্দ্র এবং কোণ সম্পর্কিত তথ্য নির্ণয় করি।
1. ক্ষেত্রফল নির্ণয়
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সূত্র:
\[
\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|
\]
প্রয়োগ করি:
\[
\begin{aligned}
\text{Area} &= \frac{1}{2} |3 (10 - 2) + 3 (2 - 2) + (-5)(2 - 10)| \\
&= \frac{1}{2} |3 \times 8 + 3 \times 0 + (-5) \times (-8)| \\
&= \frac{1}{2} |24 + 0 + 40| \\
&= \frac{1}{2} \times 64 = 32
\end{aligned}
\]
অর্থাৎ, ক্ষেত্রফল \(= 32\) বর্গ একক।
=> **(i) সঠিক।**
2. ভরকেন্দ্র (Centroid) নির্ণয়
ভরকেন্দ্রের নির্ণয় সূত্র:
\[
G\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)
\]
প্রয়োগ করি:
\[
\begin{aligned}
x_G &= \frac{3 + 3 + (-5)}{3} = \frac{1}{3} \\
y_G &= \frac{2 + 10 + 2}{3} = \frac{14}{3}
\end{aligned}
\]
অর্থাৎ, ভরকেন্দ্র \(= \left(\frac{1}{3}, \frac{14}{3}\right)\)।
=> **(ii) সঠিক।**
3. কোণ বিশ্লেষণ (সমকোণী ও সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ)
প্রথমে দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি:
\[
AB: \quad \text{দৈর্ঘ্য} = \sqrt{(3 - 3)^2 + (10 - 2)^2} = \sqrt{0 + 8^2} = 8
\]
\[
BC: \quad \sqrt{(-5 - 3)^2 + (2 - 10)^2} = \sqrt{(-8)^2 + (-8)^2} = \sqrt{64 + 64} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}
\]
\[
CA: \quad \sqrt{(-5 - 3)^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{(-8)^2 + 0} = 8
\]
এখন, কোণ নির্ণয় করি \(\angle ABC\) বা অন্য কোন কোণ।
আসুন, \(AB\) ও \(BC\) এর মধ্যে কোণ নির্ণয় করি:
বজ্রের সূত্রে, কোণের কোটেশন:
\[
\cos \theta = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{BC}}{|\vec{AB}||\vec{BC}|}
\]
\[
\vec{AB} = (0, 8), \quad \vec{BC} = (-8, -8)
\]
ডট প্রোডাক্ট:
\[
\vec{AB} \cdot \vec{BC} = (0)(-8) + (8)(-8) = -64
\]
অর্থাৎ,
\[
\cos \theta = \frac{-64}{8 \times 8 \sqrt{2}} = \frac{-64}{64 \sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}
\]
\[
\Rightarrow \theta = 135^\circ
\]
যেহেতু কোণ \(135^\circ\), যা সমকোণ নয়। তদ্ব্যতীত, কোন বাহুর দৈর্ঘ্য অন্য বাহুর সাথে সমান নয়, ফলে ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু নয়। এছাড়াও, কোণটি \(135^\circ\), যা সমকোণ নয়।
অতএব, **ত্রিভুজটি সমকোণী বা সমদ্বিবাহু নয়।**
তবে, প্রশ্নে উল্লেখ আছে "ত্রিভুজটি সমকোণী সমদ্বিবাহু"। এই নির্ধারিত তথ্যের ভিত্তিতে, এটি সঠিক নয়।
**সুতরাং, iii) ভুল।**
---
উপসংহার:
- ক্ষেত্রফল 32 বর্গ একক → সঠিক।
- ভরকেন্দ্র (1/3, 14/3) → সঠিক।
- ত্রিভুজটি সমকোণী সমদ্বিবাহু → ভুল।
প্রশ্নের উত্তরের জন্য সঠিক উত্তর হবে:
**"i ও ii সঠিক, iii ভুল"।**
তাই, উপযুক্ত উত্তর:
**"i, ii ও iii"** যদি প্রশ্নে বলা হয় যে সবগুলো সঠিক, তবে সেটি ভুল। তবে প্রশ্নে উল্লেখ আছে "নিচের কোনটি সঠিক?" এবং উত্তর হিসেবে "i, ii ও iii" দেওয়া হয়েছে।
অতএব, পুরোপুরি বিশ্লেষণ করে বলি:
```html
সমাধান
প্রথমত, ক্ষেত্রফল নির্ণয়:
Area = ½ |x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)|
= ½ |3(10 - 2) + 3(2 - 2) + (-5)(2 - 10)|
= ½ |24 + 0 + 40| = 32
অর্থাৎ, (i) সঠিক।
দ্বিতীয়ত, ভরকেন্দ্র নির্ণয়:
G_x = (3 + 3 + (-5))/3 = 1/3
G_y = (2 + 10 + 2)/3 = 14/3
অর্থাৎ, (ii) সঠিক।
তৃতীয়ত, কোণ বিশ্লেষণ:
AB = 8, BC = 8√2, CA = 8
<|vq_clip_12474|><|vq_clip_13883|><|vq_clip_14672|><|vq_clip_6455|><|vq_clip_12391|><|vq_clip_10656|><|vq_clip_2108|><|vq_clip_14706|><|vq_clip_13321|><|vq_clip_5550|><|vq_clip_9278|><|vq_clip_769|><|vq_clip_7308|><|vq_clip_10712|><|vq_clip_15397|><|vq_clip_6445|><|vq_clip_10709|><|vq_clip_2414|><|vq_clip_11478|><|vq_clip_1165|><|vq_clip_8702|><|vq_clip_866|><|vq_clip_16278|><|vq_clip_10744|><|vq_clip_15769|><|vq_clip_7548|><|vq_clip_13867|><|vq_clip_1269|><|vq_clip_16273|><|vq_clip_13463|><|vq_clip_15300|><|vq_clip_16022|><|vq_clip_1055|><|vq_clip_3019|><|vq_clip_12345|><|vq_clip_13290|><|vq_clip_15480|><|vq_clip_972|><|vq_clip_2232|><|vq_clip_6669|><|vq_clip_15072|><|vq_clip_9350|><|vq_clip_12018|><|vq_clip_14451|><|vq_clip_16173|><|vq_clip_15568|><|vq_clip_153|><|vq_clip_5472|><|vq_clip_14637|><|vq_clip_14778|><|vq_clip_851|><|vq_clip_10792|><|vq_clip_10122|><|vq_clip_14486|><|vq_clip_3776|><|vq_clip_8614|><|vq_clip_14351|><|vq_clip_15109|><|vq_clip_10471|><|vq_clip_15622|><|vq_clip_7768|><|vq_clip_15856|><|vq_clip_2692|><|vq_clip_3410|>{" "}
এখানে কোণের মান 135°, যা সমকোণ নয়। তাই ত্রিভুজটি সমকোণী নয়।
অতএব, একসাথে বলা যায়:
- i সঠিক।
- ii সঠিক।
- iii ভুল।
অতএব, সঠিক উত্তর হলো: কোনও অপশন উল্লেখ না থাকলেও, উপরে বিশ্লেষণে i ও ii সঠিক, iii ভুল।
```
