ভূমি হতে u আদিবেগে একটি বস্তু উল্লম্বভাবে উপরের দিকে নিক্ষেপ করা হলে-

1. বৃহত্তম উচ্চতা  u^2/(2g)
2. বিচরণকাল  u/g
3. h উচ্চতায় গমনকাল = (upmsqrt(u^2-2gh))/g 

নিচের কোনটি সঠিক?

প্রশ্নের বিশ্লেষণঃ

একটি বস্তু ভূমি থেকে উল্লম্বভাবে উপরের দিকে নিক্ষেপ করা হলে, আমরা নিম্নলিখিত সূত্রগুলো প্রয়োগ করবো:

1. বৃহত্তম উচ্চতা (Maximum Height):

বস্তুটি যখন উপরের দিকে উঠছে, তখন এর গতি শূন্যে পৌঁছে, অর্থাৎ উজ্জ্বল গতি \(u\) থেকে উচ্চতার সর্বোচ্চ বিন্দুতে পৌঁছানোর জন্য, নিম্নলিখিত সূত্র প্রযোজ্য:

\(v = u - g t\)

এবং, উচ্চতায় পৌঁছানোর সময় যেখানে গতি শূন্য, অর্থাৎ \(v=0\):

\(0 = u - g t_{up}\)
অতএব,
\(t_{up} = \dfrac{u}{g}\)

উচ্চতা \(H_{max}\) নির্ণয় করতে, যেখানে শুরুতে উচ্চতা 0 এবং গতি \(u\), ব্যবহার করি:

\(H_{max} = u t_{up} - \frac{1}{2} g t_{up}^2\)

অর্থাৎ,

\(H_{max} = u \times \frac{u}{g} - \frac{1}{2} g \times \left(\frac{u}{g}\right)^2\)

\(H_{max} = \frac{u^2}{g} - \frac{1}{2} g \times \frac{u^2}{g^2}\)

\(H_{max} = \frac{u^2}{g} - \frac{u^2}{2g}\)

\(H_{max} = \frac{u^2}{2g}\)

অতএব, প্রথম সূত্রটি সঠিক.

1. বিচরণকাল (Time to reach maximum height):

উপরের গণনানুযায়ী, উচ্চতায় পৌঁছানোর সময়:

\(t_{up} = \dfrac{u}{g}\)

অতএব, দ্বিতীয় সূত্রটি সঠিক নয়।

1. উচ্চতা \(h\) এ গমনকাল (Time to reach height \(h\)):

উচ্চতা \(h\) এ পৌঁছানোর জন্য, আমরা গতি বিবেচনা করবো:

গতি \(v\) যখন উচ্চতা \(h\), তখন:

\(v^2 = u^2 - 2 g h\)

গমনকাল \(t\) এর জন্য, গতি সূত্র ব্যবহার করলে:

\(v = u - g t\)

এবং, যখন আমরা উচ্চতা \(h\) এ পৌঁছাচ্ছি, তখন গতি:

\(v = \sqrt{u^2 - 2 g h}\)

অতএব,

\(t = \frac{u - v}{g} = \frac{u - \sqrt{u^2 - 2 g h}}{g}\)

এখানে, গমনকাল = \( \frac{u - \sqrt{u^2 - 2 g h}}{g} \)

তবে প্রশ্নে উল্লেখ আছে:
h উচ্চতায় গমনকাল = \(\frac{u \sqrt{u^2 - 2 g h}}{g}\)

এটি ভুল। কারণ, সঠিক গমনকাল উপরের গণনাযুক্ত।

উপসংহারঃ

সুতরাং, সঠিক বিবেচনায়:

• বৃহত্তম উচ্চতা: \( \frac{u^2}{2g} \) (সঠিক)
• বিচরণকাল: \( \frac{u}{g} \) (সঠিক)
• h উচ্চতায় গমনকাল: \( \frac{u - \sqrt{u^2 - 2 g h}}{g} \) (সঠিক)

অতএব, প্রশ্নের উত্তর: i ও iii