Another Explanation (5): প্রথমে, আমাদের দেওয়া হল \( \frac{1}{3} i \) এর বর্গমূল খুঁজে বের করতে হবে। অর্থাৎ, এমন একটি জটিল সংখ্যা \( z = a + bi \), যার জন্য:
\[
z^2 = \frac{1}{3} i
\]
এখানে, \( z = a + bi \), যেখানে \( a \) ও \( b \) বাস্তব সংখ্যা। তাহলে,
\[
(a + bi)^2 = a^2 + 2abi + (bi)^2 = a^2 + 2abi - b^2
\]
এখানে, বাস্তব অংশ ও কাল্পনিক অংশ আলাদা করে লিখি:
\[
\text{বাস্তব অংশ} = a^2 - b^2
\]
\[
\text{কাল্পনিক অংশ} = 2ab
\]
আমাদের সমীকরণ হলো:
\[
a^2 - b^2 + 2abi = \frac{1}{3} i
\]
অর্থাৎ,
\[
a^2 - b^2 = 0 \quad \text{(বাস্তব অংশের সমীকরণ)}
\]
\[
2ab = \frac{1}{3} \quad \text{(কাল্পনিক অংশের সমীকরণ)}
\]
প্রথম সমীকরণ থেকে পাই:
\[
a^2 = b^2
\]
অর্থাৎ,
\[
a = \pm b
\]
এখন, দ্বিতীয় সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি:
\[
2 a b = \frac{1}{3}
\]
যদি \( a = b \), তবে:
\[
2 a a = 2 a^2 = \frac{1}{3}
\]
\[
a^2 = \frac{1}{6}
\]
\[
a = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}
\]
অতএব, যদি \( a = b \), তবে:
\[
a = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}
\]
\[
b = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}
\]
অথবা, যদি \( a = -b \), তবে:
\[
2 a b = 2 a (-a) = -2 a^2 = \frac{1}{3}
\]
\[
-2 a^2 = \frac{1}{3}
\]
\[
a^2 = - \frac{1}{6}
\]
যা সম্ভব নয় বাস্তব সংখ্যার জন্য, কারণ \( a^2 \) ধনাত্মক বা শূন্য হতে হবে। অতএব, আমাদের সমাধান হলো:
\[
a = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}, \quad b = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}
\]
অতএব, দুটি সমাধান হবে:
\[
z = \frac{1}{\sqrt{6}} + i \frac{1}{\sqrt{6}}
\]
অথবা,
\[
z = -\frac{1}{\sqrt{6}} - i \frac{1}{\sqrt{6}}
\]
উপযুক্ত রূপে, এই সংখ্যা লেখার জন্য আমরা সাধারণত প্লাস-মাইনাস চিহ্ন ব্যবহার করি। তাই, শেষ উত্তর হলো:
\[
z = \pm \left( \frac{1}{\sqrt{6}} + i \frac{1}{\sqrt{6}} \right)
\]
অথবা, এর সাধারণ রূপ:
\[
\boxed{
\pm \frac{1}{\sqrt{6}} (1 + i)
}
\]
এবং, এই সংখ্যাগুলোর মানের জন্য, মূল \( \frac{1}{3} i \) এর বর্গমূল:
\[
\boxed{
\pm \frac{1}{\sqrt{6}} (1 + i)
}
\]
এবং, সাধারণভাবে, এই সংখ্যাটির মানের অন্য একটি রূপ হচ্ছে:
\[
\pm \frac{1}{\sqrt{6}} (1 + i)
\]
যা সমান:
\[
\boxed{
\pm \frac{1}{\sqrt{6}} (1 + i)
}
\]
অথবা, যদি রেডিয়ান কোণের মাধ্যমে বুঝতে চান, তাহলে এর মান হলো:
\[
\pm \frac{1}{\sqrt{6}} (1 + i)
\]
অর্থাৎ, উত্তর সংক্ষেপে:
\[
\boxed{
\pm \frac{1}{\sqrt{6}} (1 + i)
}
\]
