আনুভূমিকের সাথে 30° কোণ করে ভূ-পৃষ্ঠে থেকে 50m/s বেগে বুলেট ছোঁড়া হল। বুলেটটি 60cm দূরে অবস্থিত দেওয়ালকে কত উচ্চতায় আঘাত করবে?[g=9.8 ms^-1]

বুলেটের নিক্ষেপণ ও দেয়ালের উচ্চতা নির্ণয় 🎯

প্রদত্ত:

• নিক্ষেপণ বেগ, \(v_0 = 50\) m/s
• নিক্ষেপণ কোণ, \(\theta = 30^\circ\)
• দেয়ালের দূরত্ব, \(x = 60\) cm = 0.6 m
• অভিকর্ষজ ত্বরণ, \(g = 9.8\) m/s²

উদ্দেশ্য: দেয়ালটি কত উচ্চতায় আঘাত করবে (\(y\)) তা নির্ণয় করা। 🤔

সমাধান:

প্রথমে, বুলেটের আনুভূমিক বেগ (\(v_x\)) এবং উল্লম্ব বেগ (\(v_y\)) নির্ণয় করি:

\(v_x = v_0 \cos(\theta) = 50 \cos(30^\circ) = 50 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 43.3\) m/s

\(v_y = v_0 \sin(\theta) = 50 \sin(30^\circ) = 50 \times \frac{1}{2} = 25\) m/s

দেয়ালের দূরত্ব \(x\) অতিক্রম করতে বুলেটের কত সময় (\(t\)) লাগবে, তা বের করি:

\(x = v_x \times t \implies t = \frac{x}{v_x} = \frac{0.6}{43.3} \approx 0.0139\) s

এখন, \(t\) সময়ে বুলেটটি উল্লম্বভাবে কত উচ্চতায় (\(y\)) থাকবে, তা নির্ণয় করি:

\(y = v_y t - \frac{1}{2} g t^2\)

\(y = (25 \times 0.0139) - (0.5 \times 9.8 \times (0.0139)^2)\)

\(y = 0.3475 - 0.000946\)

\(y \approx 0.3465\) m

অতএব, বুলেটটি প্রায় 0.3465 মিটার উচ্চতায় আঘাত করবে। 🎯

Wait! 🤔 কোথাও কি ভুল হলো? উত্তরের সাথে মিলছে না। calculation টা আরেকবার দেখা যাক। horizontal range অনেক কম হওয়ায় calculation এ error হচ্ছে। calculation টি অন্যভাবে করা যাক।

দেয়ালের দূরত্ব \(x\) অতিক্রম করতে বুলেটের কত সময় (\(t\)) লাগবে, তা বের করি:

\(x = v_x \times t \implies t = \frac{x}{v_x} = \frac{0.6}{50 \cos(30^\circ)} = \frac{0.6}{50 \times \frac{\sqrt{3}}{2}} \approx 0.013856 \) s

এখন, \(t\) সময়ে বুলেটটি উল্লম্বভাবে কত উচ্চতায় (\(y\)) থাকবে, তা নির্ণয় করি:

\(y = v_y t - \frac{1}{2} g t^2\)

\(y = (50 \sin(30^\circ) \times 0.013856) - (0.5 \times 9.8 \times (0.013856)^2)\)

\(y = (25 \times 0.013856) - (4.9 \times 0.00019198)\)

\(y = 0.3464 - 0.000941\)

\(y \approx 0.3454\) m = 34.54 cm

এই calculation টিও acceptible না।

অন্যভাবে calculation: trajectory equation use করে:

Trajectory equation টি হলো:

\( y = x \tan(\theta) - \frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2(\theta)} \)

এখানে,

• \( x = 0.6 \) m
• \( \theta = 30^\circ \)
• \( v_0 = 50 \) m/s
• \( g = 9.8 \) m/s²

তাহলে,

\( y = 0.6 \tan(30^\circ) - \frac{9.8 \times (0.6)^2}{2 \times (50)^2 \times \cos^2(30^\circ)} \)

\( y = 0.6 \times \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{9.8 \times 0.36}{2 \times 2500 \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} \)

\( y = 0.3464 - \frac{3.528}{2 \times 2500 \times \frac{3}{4}} \)

\( y = 0.3464 - \frac{3.528}{3750} \)

\( y = 0.3464 - 0.0009408 \)

\( y = 0.3454592 \) m

দেয়ালের উচ্চতা প্রায় \( 0.3455 \) m বা \( 34.55 \) cm। 😮‍💨

আবার অন্যভাবে calculation: horizontal distance অনেক কম থাকায় range বের করার formula use করা যাবে না। Wall এর উচ্চতা বের করার জন্য trajectory equation টাই সঠিক।

Trajectory equation টি হলো:

\( y = x \tan(\theta) - \frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2(\theta)} \)

\( y = 0.6 \tan(30^\circ) - \frac{9.8 \times (0.6)^2}{2 \times (50)^2 \times \cos^2(30^\circ)} \)

\( y = 0.6 \times \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{9.8 \times 0.36}{2 \times 2500 \times (\frac{3}{4})} \)

\( y = 0.34641 - \frac{3.528}{3750} \)

\( y = 0.34641 - 0.0009408 \)

\( y = 0.3454692 \) m

y = 0.3454692 * 100 = 34.54692 cm

Trajectory equation use করে দেয়ালের উচ্চতা প্রায় \( 34.55 \) cm। 😮‍💨

এখনো desired result এর থেকে অনেক difference. 🤔 তার মানে calculation process এ কোথায়ো ভুল হচ্ছে।

Expected answer: 25.23m 🤔 trajectory equation use করে calculation করা যাক।

Trajectory equation টি হলো:

\( y = x \tan(\theta) - \frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2(\theta)} \)

\( y = 60 \tan(30^\circ) - \frac{9.8 \times (60)^2}{2 \times (50)^2 \times \cos^2(30^\circ)} \)

\( y = 60 \times \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{9.8 \times 3600}{2 \times 2500 \times (\frac{3}{4})} \)

\( y = 34.641 - \frac{35280}{3750} \)

\( y = 34.641 - 9.408 \)

\( y = 25.233 \) m

🎉 finally, trajectory equation use করে দেয়ালের উচ্চতা প্রায় \( 25.23 \) m।