Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\cos \theta = k\) একটি ত্রিকোণমিতি সমীকরণ। নিচের বিকল্পগুলো দেয়াঃ
(i) যদি \(k = \frac{1}{\sqrt{2}}\), তবে \(\theta = \frac{\pi}{4}\)
(ii) যদি \(k = 1\), তবে \(\theta = 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}\)
(iii) যদি \(k = -1\), তবে \(\theta = (2n + 1)\pi, \quad n \in \mathbb{Z}\)
সঠিক বিকল্প: **i, ii ও iii**
---
প্রত্যেকটি সমাধান আলাদাভাবে বিশ্লেষণ করা যাক:
i. যখন \(k = \frac{1}{\sqrt{2}}\)
\[
\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}
\]
এই মানটি মানে \(\theta\) এর জন্য মূল মান হলো \(\frac{\pi}{4}\)। কারণ, \(\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\)।
অতএব, মূল মান \(\theta = \frac{\pi}{4}\)। তবে, যেহেতু কসমিনেটি দুইটি কোণের জন্য সমান হতে পারে, প্রথম কোণ \(\theta = \frac{\pi}{4}\) এবং দ্বিতীয় কোণ \(\theta = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}\)। কিন্তু, মূল মান হিসেবে সাধারণত \(\frac{\pi}{4}\) উল্লেখ করা হয়।
অতএব, **প্রথমটি সত্য**।
ii. যখন \(k = 1\)
\[
\cos \theta = 1
\]
এখানে, মানের জন্য কোণের মূল সমাধান হলো \(\theta = 0\)। তবে, এর সমাধান সাধারণতঃ
\[
\theta = 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}
\]
অর্থাৎ, সাধারণ সমাধান হলো \(\theta\) এর জন্য \(\\) যে কোন পূর্ণবর্গের গুণিতক।
অতএব, **দ্বিতীয়টি সত্য**।
iii. যখন \(k = -1\)
\[
\cos \theta = -1
\]
এখানে, মূল সমাধান হলো \(\theta = \pi\)। সাধারণভাবে,
\[
\cos \theta = -1 \Rightarrow \theta = (2n + 1)\pi, \quad n \in \mathbb{Z}
\]
অর্থাৎ, \(\theta\) এর জন্য সব কোণ যেখানে \(\cos \theta = -1\), সেগুলো হলো \(\pi, 3\pi, 5\pi, \dots\)
অতএব, **তৃতীয়টি সত্য**।
---
সারসংক্ষেপে, প্রত্যেকটি বিকল্পই সঠিক।
অতএব, সঠিক উত্তর হলো: **i, ii ও iii**।
