cosec θ  + cot θ  = √3 হলে θ এর মান কত? (0<θ <2π)

প্রশ্ন:

cosec θ + cot θ = √3 হলে θ এর মান কত? (0 < θ < 2π)

সমাধান:

প্রথমে, নিম্নলিখিত সম্পর্কগুলো মনে রাখবো:

• cosec θ = \(\frac{1}{\sin θ}\)
• cot θ = \(\frac{\cos θ}{\sin θ}\)

সুতরাং, দেওয়া সমীকরণটি হবে:

\[ \frac{1}{\sin θ} + \frac{\cos θ}{\sin θ} = \sqrt{3} \]

এটি সাধারণ করে লিখলে:

\[ \frac{1 + \cos θ}{\sin θ} = \sqrt{3} \]

উপরে থেকে, আমরা পাই:

\[ 1 + \cos θ = \sqrt{3} \sin θ \]

এখন, এই সমীকরণটি থেকে \(\cos θ\) ও \(\sin θ\) এর সম্পর্ক নির্ণয় করি:

অর্থাৎ,

\[ \sqrt{3} \sin θ - \cos θ = 1 \]

এখন, এই সমীকরণটি একটি রৈখিক সমীকরণে রূপান্তর করি। একে লিখি:

\[ \sqrt{3} \sin θ - \cos θ = 1 \]

পরবর্তী ধাপ:

এটি একটি সাধারণ সমীকরণ যা নিম্নলিখিত আকারে লেখা যায়:

\[ A \sin θ + B \cos θ = C \]

এখানে, A = \(\sqrt{3}\), B = -1, C = 1।

এটি সমাধানের জন্য, আমরা এই সমীকরণটিকে একটি একক ট্রিগোনোমেট্রিক ফাংশনের রূপে রূপান্তর করব।

প্রথমে, find the amplitude \( R \):

\[ R = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2 \]

অতএব, সমীকরণটি লেখা যাবে:

\[ R \left( \sin θ \cos φ + \cos θ \sin φ \right) = C \]

যেখানে, \(\cos φ = \frac{A}{R} = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\sin φ = \frac{B}{R} = \frac{-1}{2}\)

অর্থাৎ,

\[ 2 \left( \sin θ \cos φ + \cos θ \sin φ \right) = 1 \]

বা,

\[ 2 \sin (θ + φ) = 1 \]

এখন, \(\sin (θ + φ) = \frac{1}{2}\)

এবং, \(\sin α = \frac{1}{2}\) এর সমাধান হলো:

\[ α = \frac{π}{6} + 2nπ \quad \text{বা} \quad α = \frac{5π}{6} + 2nπ \]

অতএব,

\[ θ + φ = \frac{π}{6} + 2nπ \quad \text{বা} \quad θ + φ = \frac{5π}{6} + 2nπ \]

এখন, \(\phi\) নির্ণয় করি:

\(\cos φ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\sin φ = \frac{-1}{2}\)

এখন, এই মান অনুযায়ী, \(\phi\) এর মান হবে:

\(\phi = -\frac{π}{6}\) বা \(\phi = \frac{5π}{6}\)

অতএব, দুইটি সম্ভাব্য সমাধান:

1. \[ θ - \frac{π}{6} = \frac{π}{6} + 2nπ \]

2. \[ θ + \frac{5π}{6} = \frac{π}{6} + 2nπ \]

প্রথম সমাধান:

\[ θ = \frac{π}{6} + \frac{π}{6} + 2nπ = \frac{π}{3} + 2nπ \]

দ্বিতীয় সমাধান:

\[ θ = -\frac{5π}{6} + \frac{π}{6} + 2nπ = -\frac{4π}{6} + 2nπ = -\frac{2π}{3} + 2nπ \]

প্রশ্নের শর্ত অনুযায়ী, \(0 < θ < 2π\).

তাহলে, প্রথম সমাধান:

\[ θ = \frac{π}{3} \] (কারণ, এটি এই পরিসরে পড়ে)

অতএব, উত্তর হলো: \(\boxed{\frac{π}{3}}\)