\( y = \sin 2x \) এর \( 99 \)-তম অন্তরক সহগ কত?

Explanation: \(y = \sin 2x \) থেকে , \(y = \sin^n mx \)হলে, n ম অমসৃণ\( = -mn^n \cos mx\)

Another Explanation (5): ```html

প্রশ্ন: \( y = \sin 2x \) এর \( 99 \)-তম অন্তরক সহগ কত?

সমাধান:

ধরি, \( y = \sin 2x \)। প্রথম কয়েকটি অন্তরজ নির্ণয় করি: * \( y_1 = \frac{dy}{dx} = 2\cos 2x = 2\sin(2x + \frac{\pi}{2}) \) * \( y_2 = \frac{d^2y}{dx^2} = -2^2\sin 2x = 2^2\sin(2x + 2\frac{\pi}{2}) \) * \( y_3 = \frac{d^3y}{dx^3} = -2^3\cos 2x = 2^3\sin(2x + 3\frac{\pi}{2}) \) * \( y_4 = \frac{d^4y}{dx^4} = 2^4\sin 2x = 2^4\sin(2x + 4\frac{\pi}{2}) \) লক্ষ্য করি, \( n \)-তম অন্তরজের ক্ষেত্রে: \( y_n = \frac{d^ny}{dx^n} = 2^n \sin(2x + n\frac{\pi}{2}) \) সুতরাং, \( 99 \)-তম অন্তরজ হবে: \( y_{99} = \frac{d^{99}y}{dx^{99}} = 2^{99} \sin(2x + 99\frac{\pi}{2}) \) এখন, \( 99\frac{\pi}{2} = (49 \times 2 + 1)\frac{\pi}{2} = 49\pi + \frac{\pi}{2} \) তাহলে, \( \sin(2x + 99\frac{\pi}{2}) = \sin(2x + 49\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin(2x + \frac{\pi}{2} + 49\pi) \) আমরা জানি, \(\sin(\theta + n\pi) = (-1)^n \sin \theta\) সুতরাং, \( \sin(2x + \frac{\pi}{2} + 49\pi) = (-1)^{49} \sin(2x + \frac{\pi}{2}) = -\sin(2x + \frac{\pi}{2}) = -\cos 2x \) অতএব, \( y_{99} = 2^{99}(-\cos 2x) = -2^{99} \cos 2x \) সুতরাং, \( y = \sin 2x \) এর \( 99 \)-তম অন্তরক সহগ হলো \( -2^{99} \cos 2x \)। 🎉🎉🎉 ```