Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(x=2t\) এবং \(y=t^2\) দ্বারা প্রকাশিত পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক কত?
সমাধান:
প্রথমে, পরাবৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় করতে পারি, যেখানে \(t\) এর মান পরিবর্তিত হলে পরাবৃত্তের কেন্দ্রের অবস্থান নির্ণয় হয়। সাধারণত, পরাবৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক পেতে \(x\) ও \(y\) এর গড় মান নির্ণয় করতে হয়।
তাই, \[
x = 2t \Rightarrow t = \frac{x}{2}
\]
এবং, \[
y = t^2
\]
অতএব, \(t\) এর জন্য নির্ণয় করে:
\[
t = \pm \sqrt{y}
\]
কিন্তু, এখানে \(t\) নির্ভর করে \(x\) এর উপর, তাই আমরা \(x\) ও \(y\) এর জন্য নির্ণয় করি:
\[
x = 2t \Rightarrow t = \frac{x}{2}
\]
এবং,
\[
y = t^2 = \left(\frac{x}{2}\right)^2 = \frac{x^2}{4}
\]
অর্থাৎ, পরাবৃত্তের সমীকরণ:
\[
y = \frac{x^2}{4}
\]
এখন, পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় করতে, সাধারণত, এর কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় করতে হয়।
অর্থাৎ, পরাবৃত্তের কেন্দ্রের \(x\)-অক্ষের স্থানাঙ্ক:
\[
x_c = \frac{\text{সর্বোচ্চ } x + \text{সর্বনিম্ন } x}{2}
\]
এবং, \(y\)-অক্ষের জন্য:
\[
y_c = \frac{\text{সর্বোচ্চ } y + \text{সর্বনিম্ন } y}{2}
\]
যেহেতু, পরাবৃত্তের সমীকরণ:
\[
y = \frac{x^2}{4}
\]
এখানে, \(x\) অনির্দিষ্ট হতে পারে, তবে \(t\) এর মানের উপর ভিত্তি করে, সর্বনিম্ন ও সর্বোচ্চ মান নির্ণয় করি।
তাহলে, \(t\) এর মান দিয়ে \(x\) ও \(y\) নির্ণয় করি।
প্রথমে, \(t\) এর মানের জন্য সবচেয়ে ছোট ও বড় মান নির্ণয়:
যখন, \(t\) ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হতে পারে।
প্রতিটি মানের জন্য:
\[
x = 2t
\]
\[
y = t^2
\]
এখানে, \(t\) এর মান পরিবর্তিত হলে, কেন্দ্রের স্থানাঙ্কের জন্য,
\[
x = 2t \Rightarrow \text{সর্বোচ্চ } x \text{ হয় } 2t \text{ এর জন্য } t \to \infty
\]
\[
x \to \infty
\]
এবং,
\[
x \to -\infty
\]
অর্থাৎ, \(x\) এর মান অসীম পর্যন্ত যায়।
চূড়ান্তভাবে, পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক পেতে, এর কেন্দ্রের স্থানাঙ্কের জন্য, \(t=0\) (যেখানে \(x=0\) ও \(y=0\)) এ দেখা যায়।
কিন্তু, প্রশ্নে প্রদত্ত বিকল্প বা নির্দিষ্ট মান অনুসারে,
যখন \(t=1\):
\[
x = 2(1) = 2
\]
\[
y = 1^2 = 1
\]
এখন, যখন \(t=-1\):
\[
x= -2
\]
\[
y=1
\]
অর্থাৎ, পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হলো \((0,1)\) যেখানে \(t=0\) এর জন্য:
\[
x= 0
\]
\[
y= 0^2=0
\]
তবে, এই পরিস্থিতিতে, যদি মূল প্রশ্নের উত্তর অনুসারে, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হলো \((0,1)\)।
সুতরাং, উত্তর:
\[
\boxed{(0,1)}
\]
