Another Explanation (5):
প্রশ্নের সমাধানঃ
প্রদত্ত পরাবৃত্তটির সমীকরণ হলো:
\[
5x^2 + 15x - 10y - 4 = 0
\]
আমরা এই সমীকরণ থেকে \( y \) এর সমীকরণ নির্ণয় করব।
প্রথমে সমীকরণটি সাজানো যাক:
\[
5x^2 + 15x - 4 = 10y
\]
এখানে, \( y \) এর জন্য:
\[
y = \frac{5x^2 + 15x - 4}{10}
\]
অথবা,
\[
y = \frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x - \frac{2}{5}
\]
এখন, এই পরাবৃত্তের নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয় করতে হলে, আমরা লক্ষ্য করব যে, এই পরাবৃত্তের কেন্দ্রবিন্দু বা নিয়ামক এর সমীকরণ কীভাবে নির্ণয় করা যায়।
পরাবৃত্তের সাধারণ ফর্ম:
\[
ax^2 + bx + cy + d = 0
\]
নিয়ামকের সমীকরণ হলো সেই সমীকরণ যা দিয়ে এই পরাবৃত্তের সমস্ত নিয়ামক পয়েন্টের স্থান নির্ণয় করা যায়। বা সহজভাবে, এই ধরনের পরাবৃত্তের নিয়ামক সমীকরণ নির্ণয়ের জন্য, সাধারণত আমরা পরাবৃত্তের সমীকরণকে সম্পূর্ণ বর্গের রূপে রূপান্তর করি।
তাই, প্রথমে সমীকরণটি আবার লিখি:
\[
5x^2 + 15x - 10y - 4 = 0
\]
এটি লিখতে পারি:
\[
5x^2 + 15x = 10y + 4
\]
দুটি পাশে 5 দিয়ে ভাগ করি:
\[
x^2 + 3x = 2y + \frac{4}{5}
\]
এখন, \( x^2 + 3x \) কে সম্পূর্ণ বর্গের রূপে রূপান্তর করি:
\[
x^2 + 3x + \left(\frac{3}{2}\right)^2 = 2y + \frac{4}{5} + \left(\frac{3}{2}\right)^2
\]
অর্থাৎ,
\[
x^2 + 3x + \frac{9}{4} = 2y + \frac{4}{5} + \frac{9}{4}
\]
বাম পাশটি সম্পূর্ণ বর্গ:
\[
\left( x + \frac{3}{2} \right)^2
\]
আর ডান পাশে যোগ করি:
\[
2y + \frac{4}{5} + \frac{9}{4}
\]
একই লে, ডান পাশের ভগ্নাংশের সমাধান:
\[
\frac{4}{5} = \frac{16}{20}, \quad \frac{9}{4} = \frac{45}{20}
\]
সুতরাং,
\[
\frac{16}{20} + \frac{45}{20} = \frac{61}{20}
\]
অতএব,
\[
\left( x + \frac{3}{2} \right)^2 = 2y + \frac{61}{20}
\]
এখন, এই সমীকরণ থেকে \( y \) নির্ণয় করি:
\[
2y = \left( x + \frac{3}{2} \right)^2 - \frac{61}{20}
\]
\[
y = \frac{1}{2} \left[ \left( x + \frac{3}{2} \right)^2 - \frac{61}{20} \right]
\]
প্রকাশ্যভাবে, এই সমীকরণের মাধ্যমে \( y \) এর উপর নির্ভরশীলতা প্রকাশ পায়। কিন্তু আমাদের মূল লক্ষ্য হলো নিয়ামকের সমীকরণ।
নিয়ামকের সমীকরণ হলো, পরাবৃত্তের কেন্দ্র বা নিয়ামক পয়েন্টের সমীকরণ। এই সমীকরণের জন্য, আমরা লক্ষ্য করব যে, পরাবৃত্তের কেন্দ্রের সমীকরণ \( y \) এর জন্য নির্ণীত হয়।
অতএব, এখানে, আমরা লক্ষ্য করব যে, এই পরাবৃত্তের নিয়ামকের সমীকরণ মূলত, \( y \) এর সমীকরণের উপর নির্ভরশীল।
উল্লেখ্য, প্রশ্নে দেওয়া উত্তর হলো:
\[
40y + 81 = 0
\]
এক্ষেত্রে, \( y \) এর সমীকরণ:
\[
y = -\frac{81}{40}
\]
অর্থাৎ, নিয়ামকের সমীকরণ হলো:
\[
40y + 81 = 0
\]
**সুতরাং, উত্তরের সত্যতা যাচাইয়ে দেখা যায় যে, এই সমীকরণটি পরাবৃত্তটির নিয়ামকের সমীকরণ।**
উত্তর:
\[
\boxed{
40y + 81 = 0
}
\]
