Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\left(x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}\right)^6\) এর সম্প্রসারণে \(x\) বর্জিত পদটির মান কত?
সমাধান:
প্রথমে, অভিব্যক্তিটি লিখি:
\[
\left(x^2 + \frac{1}{x^2} - 2\right)^6
\]
এখানে, \(A = x^2\), \(B = \frac{1}{x^2}\), এবং \(C = -2\):
\[
(A + B + C)^6
\]
এখানে, আমরা এই ত্রিপদ সংমিশ্রণের জন্য ত্রিপদ বিন্যাসের বাইনারি ত্রিপদ সমন্বয় (trinomial expansion) ব্যবহার করব:
\[
(A + B + C)^6 = \sum_{p+q+r=6} \frac{6!}{p!q!r!} A^p B^q C^r
\]
আমাদের লক্ষ্য হলো \(x\)-বর্জিত পদটি খুঁজে বের করা।
\[
A^p = (x^2)^p = x^{2p}
\]
\[
B^q = \left(\frac{1}{x^2}\right)^q = x^{-2q}
\]
\[
C^r = (-2)^r
\]
সুতরাং, প্রতিটি পদে মূল \(x\)-শক্তি হবে:
\[
x^{2p} \times x^{-2q} = x^{2p - 2q}
\]
অতএব, মোট শক্তি:
\[
2p - 2q
\]
\(x\)-বর্জিত পদ মানে এর শক্তি শূন্য, অর্থাৎ:
\[
2p - 2q = 0 \implies p = q
\]
এখন, \(p + q + r = 6\), এবং \(p = q\), তাহলে:
\[
p + p + r = 6 \implies 2p + r = 6
\]
এখন, আমরা সব মানের জন্য \(p\), \(q\), \(r\) নির্ণয় করব যেখানে \(p = q\) ও \(r \geq 0\):
\[
r = 6 - 2p
\]
প্রতিটি মানের জন্য, যেখানে \(p \geq 0\), \(r \geq 0\):
\[
0 \leq p \leq 3
\]
অর্থাৎ, সম্ভাব্য মা???গুলো হলো:
\[
p = 0, 1, 2, 3
\]
এখন, প্রতিটি ক্ষেত্রে পদটির মান নির্ণয় করি:
---
### যখন \(p = q = 0\):
\[
r = 6 - 2(0) = 6
\]
পদ:
\[
\frac{6!}{0! \, 0! \, 6!} \times A^{0} \times B^{0} \times (-2)^6 = 1 \times 1 \times 1 \times 64 = 64
\]
---
### যখন \(p = q = 1\):
\[
r = 6 - 2(1) = 4
\]
পদ:
\[
\frac{6!}{1! \, 1! \, 4!} \times A^{1} \times B^{1} \times (-2)^4
\]
গণনা:
\[
\frac{720}{1 \times 1 \times 24} = \frac{720}{24} = 30
\]
\[
A^{1} = x^{2}
\]
\[
B^{1} = \frac{1}{x^{2}}
\]
\[
(-2)^4 = 16
\]
মোট:
\[
30 \times x^{2} \times \frac{1}{x^{2}} \times 16 = 30 \times 1 \times 16 = 480
\]
---
### যখন \(p = q = 2\):
\[
r = 6 - 2(2) = 2
\]
পদ:
\[
\frac{6!}{2! \, 2! \, 2!} \times A^{2} \times B^{2} \times (-2)^2
\]
গণনা:
\[
\frac{720}{2 \times 2 \times 2} = \frac{720}{8} = 90
\]
\[
A^{2} = x^{4}
\]
\[
B^{2} = \frac{1}{x^{4}}
\]
\[
(-2)^2 = 4
\]
মোট:
\[
90 \times x^{4} \times \frac{1}{x^{4}} \times 4 = 90 \times 1 \times 4 = 360
\]
---
### যখন \(p = q = 3\):
\[
r = 6 - 2(3) = 0
\]
পদ:
\[
\frac{6!}{3! \, 3! \, 0!} \times A^{3} \times B^{3} \times (-2)^0
\]
গণনা:
\[
\frac{720}{6 \times 6 \times 1} = \frac{720}{36} = 20
\]
\[
A^{3} = x^{6}
\]
\[
B^{3} = \frac{1}{x^{6}}
\]
\[
(-2)^0 = 1
\]
মোট:
\[
20 \times x^{6} \times \frac{1}{x^{6}} \times 1 = 20
\]
---
### উপসংহার:
বর্জিত (x মুক্ত) পদগুলো এর মান:
\[
64 + 480 + 360 + 20 = 924
\]
**অতএব, উত্তর: \(\boxed{924}\)**
