60m উচ্চতা হতে একটি বস্তুকে বিনা বাধায় পড়তে দিলে ভূমি হতে কত উচ্চতায় বিভব শক্তি গতি শক্তির অর্ধেক হবে?

Another Explanation (5):

প্রশ??ন:

60m উচ্চতা হতে একটি বস্তুকে বিনা বাধায় পড়তে দিলে ভূমি হতে কত উচ্চতায় বিভব শক্তি গতি শক্তির অর্ধেক হবে?

উত্তর:

উত্তর: 20m

সমাধান:

ধরি, উচ্চতা: \( h = 60\,m \)

ভূমি থেকে উচ্চতা: \( h_1 \)

বস্তুর মোট বিভব শক্তি (Potential Energy):

\[ PE = mgh \] প্রতি ভর (Mass) অপরিবর্তিত থাকায়, বিভব শক্তি অনুপাত হিসেবে বিবেচনা করব।

গতি শক্তি (Kinetic Energy):

\[ KE = \frac{1}{2}mv^2 \]

বস্তুটি উচ্চতা \( h_1 \) এ থাকাকালীন বিভব শক্তি থাকবে:

\[ PE_1 = mgh_1 \]

এবং গতি শক্তি হবে:

\[ KE_1 = m g (h - h_1) \]

প্রশ্ন অনুযায়ী, যখন বিভব শক্তির অর্ধেক এবং গতি শক্তির অর্ধেক হয়, তখন:

\[ PE_1 = 2 \times KE_1 \] অর্থাৎ, \[ m g h_1 = 2 \times \left( \frac{1}{2} m v^2 \right) \] \[ m g h_1 = m v^2 \]

আরও জানি যে, সংঘর্ষের সময় মোট শক্তির সঞ্চয়ীয় নিয়ম অনুসারে:

\[ v^2 = 2 g (h - h_1) \]

এখন, উপরের দুটি সমীকরণ সমাধান করি:

\[ g h_1 = v^2 \] এবং \[ v^2 = 2 g (h - h_1) \]

1. প্রথম সমীকরণ থেকে:
\[ v^2 = g h_1 \]
2. দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে:
\[ v^2 = 2 g (h - h_1) \]

অতএব,
g h_1 = 2 g (h - h_1)

গুণাগুণ করলে: \[ h_1 = 2 (h - h_1) \] \[ h_1 = 2h - 2h_1 \] \[ h_1 + 2h_1 = 2h \] \[ 3h_1 = 2h \] \[ h_1 = \frac{2h}{3} \] যেখানে \( h = 60\,m \): \[ h_1 = \frac{2 \times 60}{3} = \frac{120}{3} = 40\,m \] তবে এই ফলাফলটি আমাদের প্রত্যাশিত নয় কারণ মূল সমাধানে ভুল হয়েছে। আসুন আবার সমাধান করি: উপরের গাণিতিক সমাধানটি ভুল হয়েছে। আসুন আবার ধাপে ধাপে সমাধান করি। --- সঠিক সমাধান: প্রথমে, বলি বিভব শক্তি (PE) এবং গতি শক্তি (KE): \[ PE = mgh_1 \] \[ KE = \frac{1}{2} m v^2 \] উচ্চতা \( h_1 \) এ থাকাকালীন, \[ v^2 = 2g(h - h_1) \] প্রশ্নে বলা হয়েছে, যখন বিভব শক্তি এবং গতি শক্তির অর্ধেক হয়, অর্থাৎ: \[ PE = 2 \times KE \] অর্থাৎ, \[ m g h_1 = 2 \times \frac{1}{2} m v^2 \] \[ m g h_1 = m v^2 \] কিন্তু, \( v^2 = 2g(h - h_1) \), তাহলে, \[ m g h_1 = m \times 2g (h - h_1) \] \[ g h_1 = 2g (h - h_1) \] \[ h_1 = 2 (h - h_1) \] \[ h_1 = 2h - 2h_1 \] \[ h_1 + 2h_1 = 2h \] \[ 3h_1 = 2h \] \[ h_1 = \frac{2h}{3} \] এখন, \( h = 60\,m \): \[ h_1 = \frac{2 \times 60}{3} = 40\,m \] তাই, বিভব শক্তির অর্ধেক হবে যখন উচ্চতা: \[ h_1 = 40\,m \] কিন্তু প্রশ্নে বলেছে, ভূমি থেকে কত উচ্চতায় বিভব শক্তি গতি শক্তির অর্ধেক হবে? আসুন আবার সমাধান করি। সম্ভবত ভুল হয়েছে প্রথমে বিভ্রান্তির জন্য। মূল প্রশ্নে বলেছে: > 60m উচ্চতা থেকে একটি বস্তুকে বিনা বাধায় পড়তে দিলে ভূমি হ???ে কত উচ্চতায় বিভব শক্তি গতি শক্তির অর্ধেক হবে? অর্থাৎ, যখন: \[ PE = 2 \times KE \] অথবা, \[ mgh = 2 \times \frac{1}{2} m v^2 \] \[ g h = v^2 \] এবং, \[ v^2 = 2 g (h_{initial} - h_{current}) \] এখানে, \( h_{initial} = 60\,m \), এবং \( h_{current} \) হলো সেই উচ্চতা যেখানে সমানুপাতিক শক্তি সম্পর্ক হয়। অতএব, \[ g h_{current} = 2 g (h_{initial} - h_{current}) \] \[ h_{current} = 2 (h_{initial} - h_{current}) \] \[ h_{current} = 2h_{initial} - 2h_{current} \] \[ h_{current} + 2h_{current} = 2h_{initial} \] \[ 3h_{current} = 2 \times 60 = 120 \] \[ h_{current} = \frac{120}{3} = 40\,m \] অর্থাৎ, উচ্চতা 40m এ বিভব শক্তি গতি শক্তির অর্ধেক হবে। তবে, প্রশ্নে উল্লেখ করা হয়েছে "ভূমি হতে কত উচ্চতায়..."। তাহলে, ভূমি থেকে উচ্চতা: \[ h_{from\ ground} = 40\,m \] অর্থাৎ, বিভব শক্তি গতি শক্তির অর্ধেক হবে যখন বস্তুটি ভূমি থেকে 40 মিটার উপরে থাকবে। আসুন, আবার লক্ষ্য করি যে, প্রশ্নের উত্তরে "20m" দেওয়া হয়েছে। বুঝতে পারছি যে, প্রশ্নের বোঝাপড়া একটু ভিন্ন। --- সঠিক বিশ্লেষণ (অর্থাৎ, বিভব শক্তি = \( mgh \), গতি শক্তি = \( \frac{1}{2} m v^2 \))। প্রশ্নের মূল বক্তব্য: **"ভূমি হতে কত উচ্চতায় বিভব শক্তি গতি শক্তির অর্ধেক হবে?"** এবং, এই পরিস্থিতি তখন হবে যখন: \[ PE = 2 \times KE \] অথবা, \[ mgh = 2 \times \frac{1}{2} m v^2 \] \[ g h = v^2 \] অবশ্যই, \[ v^2 = 2 g (h_{initial} - h) \] এখানে, \( h_{initial} = 60\,m \), \( h \) হলো সেই উচ্চতা যেখানে বিভব শক্তি দ্বিগুণ গতি শক্তির। সুতরাং, \[ g h = 2 g (h_{initial} - h) \] \[ h = 2 (h_{initial} - h) \] \[ h = 2h_{initial} - 2h \] \[ h + 2h = 2h_{initial} \] \[ 3h = 2 \times 60 = 120 \] \[ h = \frac{120}{3} = 40\,m \] অর্থাৎ, ভূমি থেকে উচ্চতা 40 মিটার এ বিভব শক্তি গতি শক্তির অর্ধেক হবে। **অতএব, সঠিক উত্তর হচ্ছে: 40 মিটার।** --- **সুতরাং, চূড়ান্ত উত্তর:** ```html

উত্তর:

ভূমি থেকে উচ্চতা: 40 মিটার

``` **নোট:** প্রশ্নের উত্তর হিসেবে 20m উল্লেখ করা হয়েছে, তবে বিশ্লেষণ অনুযায়ী সঠিক উত্তর 40m।