K এর মান কত হলে x²-6x-1+ k (2x+1) = 0 সমীকরণটির মূলদ্বয় সমান হবে- 

K এর মান কত হলে x² - 6x - 1 + k (2x + 1) = 0 সমীকরণটির মূলদ্বয় সমান হবে?

1. 3 অথবা 6 (Incorrect)
2. 2 অথবা 5 (Correct)
3. 2 অথবা 6 (Incorrect)
4. 3 অথবা 5 (Incorrect)
5. 4 অথবা 5 (Incorrect)

ব্যাখ্যা:

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:

x² - 6x - 1 + k (2x + 1) = 0

প্রথমে, সমীকরণটিকে একটি আদর্শ দ্বিঘাত সমীকরণ আকারে সাজানো যাক (ax² + bx + c = 0):

x² - 6x - 1 + 2kx + k = 0

x² + (2k - 6)x + (k - 1) = 0

একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হওয়ার শর্ত হলো এর নিশ্চায়ক (discriminant) শূন্য হতে হবে। নিশ্চায়কের সূত্র হলো:

D = b² - 4ac

এখানে, a = 1, b = 2k - 6, এবং c = k - 1।

নিশ্চায়ক শূন্য হলে:

(2k - 6)² - 4 * 1 * (k - 1) = 0

এখন, আমরা এই সমীকরণটি k এর জন্য সমাধান করব:

(2k)² - 2 * (2k) * 6 + 6² - 4(k - 1) = 0

4k² - 24k + 36 - 4k + 4 = 0

4k² - 28k + 40 = 0

সমীকরণটিকে 4 দিয়ে ভাগ করা যাক:

k² - 7k + 10 = 0

এখন, আমরা এই দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করব। আমরা দুটি সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে যাদের গুণফল 10 এবং যোগফল -7। সংখ্যা দুটি হলো -2 এবং -5।

(k - 2)(k - 5) = 0

সুতরাং, k এর মান হলো:

k - 2 = 0 অথবা k - 5 = 0

k = 2 অথবা k = 5

অতএব, K এর মান 2 অথবা 5 হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় সমান হবে।

বিকল্প পদ্ধতির বিশ্লেষণ

আমরা সরাসরি অপশনগুলো ধরেও যাচাই করতে পারি, তবে এটি সময়সাপেক্ষ হবে। বীজগণিতিক পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করাই শ্রেয়।

সিদ্ধান্ত

K এর মান 2 অথবা 5 হলে x² - 6x - 1 + k (2x + 1) = 0 সমীকরণটির মূলদ্বয় সমান হবে।

সঠিক উত্তর: B. 2 অথবা 5