x⁴ + ax² + 16 = 0 সমীকরণটির মূলদ্বয় কীরূপ?

প্রশ্ন: \(x^4 + ax^2 + 16 = 0\) সমীকরণের মূলদ্বয় কীরূপ?

উত্তর: অনির্ণেয়

বিশ্লেষণ:

1. সমীকরণটি যথাক্রমে রূপে লিখা যায়: \(x^4 + ax^2 + 16 = 0\)
2. আমরা এটি একটি দ্বৈত রূপে দেখতে পারি, যেখানে \(t = x^2\), তাহলে সমীকরণটি হয়:

t^2 + a t + 16 = 0

1. এখন, এই দ্বৈত সমীকরণের মূলদ্বয় হলোঃ

গণনা করি:

\[
\Delta = a^2 - 4 \times 1 \times 16 = a^2 - 64
\]

1. বিশ্লেষণ অনুযায়ী, মূলদ্বয় নির্ণয় করতে হলে, মূলদ্বয় হল:

t_{1,2} = \frac{-a \pm \sqrt{\Delta}}{2}

1. এখন, মূলদ্বয় যদি বাস্তব হয়, তাহলে \(\Delta \geq 0\), অর্থাৎ:

a^2 - 64 \geq 0 \Rightarrow a^2 \geq 64 \Rightarrow |a| \geq 8

1. তবে, মূলদ্বয় যদি বাস্তব হয়, তবে মূলদ্বয় \(t_{1,2}\) এর মান নির্ণয় করে, তার উপর ভিত্তি করে মূল \(x\) এর মান নির্ণয় করতে হবে:

x^2 = t_{1,2}

1. এখানে, মূলসমূহের জন্য এই দ্বৈত সমীকরণের মূলদ্বয় নির্ণয় করলেই মূল \(x\) এর মান নির্ণয় করা সম্ভব।
2. তবে, যদি \(t_{1}\) বা \(t_{2}\) এর মধ্যে কোনো এক বা উভয়ই ধনাত্মক নয়, অর্থাৎ, যদি \(t_{1,2} < 0\), তাহলে মূল \(x\) এর বাস্তব মান থাকবে না।
3. অর্থাৎ, মূলদ্বয় নির্ণয় করতে গেলে, মূলদ্বয় নির্ভর করে \(a\) এর মানের উপর।

সুতরাং, এই সমীকরণের মূলদ্বয় নির্ণয় নির্ভর করে \(a\) এর মানের উপর, এবং সাধারণত, যদি মূলদ্বয় বাস্তব না হয়, তবে সমাধান অনির্ণেয়।

অতএব, উত্তর: অনির্ণেয়