3x² + 3y² - 6x + 4y - 1 = 0 ও x² + y² + 4x - 6y - 1 = 0 দুইটি বৃত্তের সমীকরণ। 

প্রথম বৃত্তের কেন্দ্র কোনটি?

প্রথম বৃত্তের সমীকরণ: \(3x^2 + 3y^2 - 6x + 4y - 1 = 0\)

প্রথমে সমীকরণটি সাধারণ রূপে রূপান্তর করি:

\(3x^2 + 3y^2 - 6x + 4y = 1\)

সমীকরণের সমস্ত অংশকে ৩ দ্বারা ভাগ করি:

\(x^2 + y^2 - 2x + \frac{4}{3}y = \frac{1}{3}\)

এখন, প্রতিটি ভেরিয়েবল জন্য পূর্ণবর্গ সম্পন্ন করি।

x-অক্ষের জন্য:

\(x^2 - 2x\)

পূর্ণবর্গ: \((x - 1)^2 - 1\)

y-অক্ষের জন্য:

\(y^2 + \frac{4}{3} y\)

পূর্ণবর্গের জন্য প্রথম, \(\frac{4}{3} y = 2 \times y \times \frac{2}{3}\)

পূর্ণবর্গ: \(\left( y + \frac{2}{3} \right)^2 - \left( \frac{2}{3} \right)^2\)

= \(\left( y + \frac{2}{3} \right)^2 - \frac{4}{9}\)

অতএব, সমীকরণটি হবে:

\[(x - 1)^2 - 1 + \left( y + \frac{2}{3} \right)^2 - \frac{4}{9} = \frac{1}{3}\]

সংখ্যাগুলিকে এক পাশে নিয়ে আসি:

\[(x - 1)^2 + \left( y + \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{1}{3} + 1 + \frac{4}{9}\]

প্রথম, সমস্ত সংখ্যাগুলিকে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করি:

\(\frac{1}{3} = \frac{3}{9}\)

অতএব, সমীকরণটি হবে:

\[(x - 1)^2 + \left( y + \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{3}{9} + \frac{9}{9} + \frac{4}{9} = \frac{16}{9}\]

এখন, বৃত্তের কেন্দ্রের সমন্বয় হল:

\( (h, k) = (1, -\frac{2}{3}) \)