x²+y²-12x+8y+c=0 বৃত্তটি y-অক্ষকে স্পর্শ করলে c = কত?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণঃ

\(x^2 + y^2 - 12x + 8y + c = 0\)

ধাপ ১: বৃত্তের কেন্দ্র ও অর্ধব্যাস নির্ণয়

অংকটি সম্পূর্ণ বর্গে রূপান্তর করব।

প্রথমে, \(x^2 - 12x\) অংশটি সম্পূর্ণ বর্গে রূপান্তর করি:

\[ x^2 - 12x = (x - 6)^2 - 36 \] অন্যদিকে, \(y^2 + 8y\) অংশটি রূপান্তর করি:

\[ y^2 + 8y = (y + 4)^2 - 16 \] অতএব, সমীকরণটি হয়ে যায়: \[ (x - 6)^2 - 36 + (y + 4)^2 - 16 + c = 0 \] সরাসরি যোগ করলে: \[ (x - 6)^2 + (y + 4)^2 = 36 + 16 - c \] অর্থাৎ, \[ (x - 6)^2 + (y + 4)^2 = 52 - c \] এখানে, কেন্দ্র \( (h, k) = (6, -4) \) এবং ব্যাসার্ধ \( r = \sqrt{52 - c} \)।

ধাপ ২: y-অক্ষের স্পর্শের শর্ত

যেহেতু বৃত্ত y-অক্ষকে স্পর্শ করে, তাহলে এর কেন??দ্র থেকে y-অক্ষ (যা \(x=0\)) পর্যন্ত দূরত্ব সমান ব্যাসার্ধের। দূরত্ব কেন্দ্র থেকে y-অক্ষের সমীকরণ \(x=0\): \[ \text{দূরত্ব} = |0 - 6| = 6 \] সুতরাং, \[ r = 6 \] অর্থাৎ, \[ \sqrt{52 - c} = 6 \] দ্বিপদে বর্গ করি: \[ 52 - c = 36 \] অতএব, \[ c = 52 - 36 = 16 \]

উত্তর:

অতএব, \(\boxed{c = 16}\)