পোলার স্থানাংকে \( r^2 - 2r \sin \theta= 3 \) একটি বৃত্তের সমীকরণ। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ হবে-

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ:
\[ r^2 - 2r \sin \theta = 3 \]

আমরা এই সমীকরণটি কর্ডিনেট ট্রান্সফরমেশনের মাধ্যমে কার্নেল ফর্মে রূপান্তর করব। প্???থমে, সমীকরণটি নিচের মতো লিখি:
\[ r^2 - 2r \sin \theta = 3 \]

প্রথমে, সমীকরণটি সম্পূর্ণ বর্গের রূপে রূপান্তর করি:

\[ r^2 - 2r \sin \theta + (\sin \theta)^2 = 3 + (\sin \theta)^2 \]

এখানে, লক্ষ্য করি যে:
\[ r^2 - 2r \sin \theta + (\sin \theta)^2 = (r - \sin \theta)^2 \]

অতএব, সমীকরণটি হয়:
\[ (r - \sin \theta)^2 = 3 + (\sin \theta)^2 \]

এখন, এই সমীকরণটি পোলার থেকে কার্টেসিয়ান রূপে রূপান্তর করি। জানি:
\[ x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta \]
অতএব,
\[ y = r \sin \theta \]
ঢালার জন্য, \( r \sin \theta = y \), তাই:
\[ (r - y)^2 = 3 + y^2 \]

অতএব,
\[ r = \sqrt{x^2 + y^2} \]

সুতরাং,
\[ (\sqrt{x^2 + y^2} - y)^2 = 3 + y^2 \]

বর্গফল খুললে:
\[ x^2 + y^2 - 2 y \sqrt{x^2 + y^2} + y^2 = 3 + y^2 \]

সুবিধার জন্য, সমীকরণের কেন্দ্রীয় অংশে লক্ষ্য করি:
\[ x^2 + y^2 + y^2 - 2 y \sqrt{x^2 + y^2} = 3 \]

অথবা,
\[ x^2 + 2 y^2 - 2 y \sqrt{x^2 + y^2} = 3 \]

অথবা, এই সমীকরণটি একটি বৃত্তের সমীকরণের রূপে রূপান্তর করতে, আমরা ফিরে পোলার সমীকরণের মূল রূপে ফিরে যাবো।

আসুন আবার মূল সমীকরণে ফিরে যাই:
\[ (r - \sin \theta)^2 = 3 + (\sin \theta)^2 \]

এখানে, লক্ষ্য করি যে, এই সমীকরণটি একটি বৃত্তের সমীকরণ যেহেতু \( r \) এর জন্য সম্পূর্ণ বর্গের রূপে রয়েছে।

এখন, সমীকরণটির কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় করি:

সমীকরণটি যখন পোলার স্থানাঙ্কে থাকে, তখন এটি বৃত্তের সমীকরণ:
\[ r = a \cos(\theta - \phi) + c \]

অথবা, সাধারণভাবে, কার্নেল ফর্মে রূপান্তর করলে দেখা যায়:

প্রথমে, সমীকরণটি লিখি:
\[ r^2 - 2 r \sin \theta = 3 \]

এটি মূলত:
\[ r^2 - 2 r \sin \theta + 1 = 3 + 1 \]
\[ (r - \sin \theta)^2 = 4 \]

অর্থাৎ,
\[ r - \sin \theta = \pm 2 \]

এখানে, আমরা সাধারণত ধরা হয় \( r - \sin \theta = 2 \) বা \( r - \sin \theta = -2 \), যা দুটি সমীকরণের জন্য আলাদা বৃত্তের প্রতিনিধিত্ব করে।

প্রথমটি:
\[ r = \sin \theta + 2 \]

দ্বিতীয়টি:
\[ r = \sin \theta - 2 \]

অবশ্যই, \( r \ge 0 \), তাই \( r = \sin \theta + 2 \) এই সমীকরণটি মূলত একটি বৃত্তের সমীকরণ, যার কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় করি।

এটি একটি বৃত্তের সমীকরণ যা কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হলো:
\[ (0, 1) \]
এবং ব্যাসার্ধ:
\[ 1 \]

তবে, মূল সমীকরণটি:
\[ (r - \sin \theta)^2 = 4 \]
এতে কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হল:
\[ (0, \pm 2) \]
অর্থাৎ, ব্যাসার্ধ:
\[ 2 \]

অতএব, বৃত্তের ব্যাসার্ধ হবে:
\boxed{2}