x²+y²+2fy+c = 0 এর কেন্দ্র কোথায় অবস্থিত ?

Another Explanation (5):

প্রশ্ন: \( x^2 + y^2 + 2fy + c = 0 \) এই সমীকরণের কেন্দ্র কোথায় অবস্থিত?

উত্তর: "y-অক্ষের উপর"

সমাধান:

প্রথমে, সমীকরণটি মান্য করা যাক:

\[ x^2 + y^2 + 2fy + c = 0 \]

এই সমীকরণটি একটি বৃত্তের সমীকরণ। সাধারণ বৃত্তের সমীকরণ হলো:

\[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \] যেখানে \((h, k)\) হলো কেন্দ্র ও \(r\) হলো ব্যাসার্ধ।

1. প্রথমে, সমীকরণটি সম্পূর্ণ বর্গে রূপান্তর করি:

\[ x^2 + y^2 + 2fy + c = 0 \] \[ x^2 + (y^2 + 2fy) = -c \]

1. Y-পরিবর্তন সম্পূর্ণ বর্গে রূপান্তর করি:

\[ y^2 + 2fy = (y + f)^2 - f^2 \] অতএব, \[ x^2 + (y + f)^2 - f^2 = -c \] \[ x^2 + (y + f)^2 = f^2 - c \]

1. এখন, সমীকরণটি হলো:

\[ (x - 0)^2 + (y - (-f))^2 = f^2 - c \] এখানে, কেন্দ্র \((h, k) = (0, -f)\) এবং ব্যাসার্ধ \(\sqrt{f^2 - c}\)।

1. অতএব, কেন্দ্রের অবস্থান হলো:

\[ \boxed{ \text{কেন্দ্র } (0, -f) } \] এবং এটি স্পষ্ট যে, কেন্দ্রটি **y-অক্ষের উপর** অবস্থিত কারণ এটি \(x = 0\) এ অবস্থিত।