Another Explanation (5):
প্রশ্নের বিশ্লেষণ ও সমাধান
প্রশ্নে উল্লেখ করা হয়েছে যে, কেন্দ্র (2, 0) বিশিষ্ট একটি বৃত্ত y-অক্ষকে স্পর্শ করে। এ থেকে বোঝা যায় যে, বৃত্তের কেন্দ্র (h, k) = (2, 0) এবং এটি y-অক্ষকে স্পর্শ করছে।
ধাপ ১: বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয়
ধরা যাক, বৃত্তের ব্যাসার্ধ \( r \)।
বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ:
\[
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
\]
এখানে, \( h = 2 \), \( k = 0 \), সুতরাং:
\[
(x - 2)^2 + y^2 = r^2
\]
ধাপ ২: y-অক্ষকে স্পর্শ করার শর্ত
যেহেতু বৃত্ত y-অক্ষকে স্পর্শ করে, তাহলে y-অক্ষের সমীকরণ \( x=0 \) এই রেখার সাথে বৃত্তের স্পর্শকতা নির্ণয় করতে হবে।
বৃত্তের সমীকরণে \( x=0 \) বসালে:
\[
(0 - 2)^2 + y^2 = r^2
\]
\[
4 + y^2 = r^2
\]
এখানে, y-অক্ষের স্পর্শে বৃত্তের একমাত্র স্পর্শকেন্দ্র হবে y-অক্ষের উপর, অর্থাৎ y-অক্ষের উপর একমাত্র বিন্দু যেখানে বৃত্ত স্পর্শ করে। স্পর্শের জন্য, এই রেখার সাথে বৃত্তের সমন্বয় সমাধান একমাত্র হবে। সুতরাং, এই রেখার সাথে সমীকরণের সমাধান একমাত্র হবে, অর্থাৎ, ডিসক্রিমিন্যান্ট শূন্য:
তাই,
\[
(0 - 2)^2 + y^2 = r^2 \implies 4 + y^2 = r^2
\]
এবং স্পর্শের জন্য, এই সমীকরণের জন্য:
\[
\text{Discriminant} = 0
\]
যদিও এখানে আমাদের বেশি দরকার নেই, কারণ, প্রমাণ করতে হবে যে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ \( r \) কত।
সুতরাং,
\[
r^2 = 4 + y^2
\]
এখানে, স্পর্শবিন্দু যেখানে y-অক্ষের উপর অবস্থিত, সেটি হবে \( x=0 \), এবং \( y \)-এর মান নির্ণয় করতে হবে।
অতএব,
\[
(0 - 2)^2 + y^2 = r^2
\]
\[
4 + y^2 = r^2
\]
যেহেতু, y-অক্ষের স্পর্শ হওয়ার জন্য, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে y-অক্ষের দূরত্ব \( r \) এর সমান। কেন্দ্রের x-মান 2, তাই দূরত্ব:
\[
|2 - 0| = 2
\]
অর্থাৎ, \( r = 2 \)
ধাপ ৩: বৃত্তের সমীকরণ ও ব্যাসার্ধ
অতএব,
\[
r = 2
\]
বৃত্তের সমীকরণ:
\[
(x - 2)^2 + y^2 = 4
\]
উত্তর অনুযায়ী,
(ii) বিকল্পে দেওয়া হয়েছে:
\[
x^2 + y^2 + 4x = 0
\]
ইতিমধ্যে, আমাদের সমীকরণ:
\[
(x - 2)^2 + y^2 = 4
\]
বিস্তৃত করলে:
\[
x^2 - 4x + 4 + y^2 = 4
\]
\[
x^2 + y^2 - 4x + 4 = 4
\]
\[
x^2 + y^2 - 4x = 0
\]
এতেই দেখা যায় যে, এটি মূল সমীকরণের শর্তে মিল রয়েছে।
অর্থাৎ,
\[
x^2 + y^2 + 4x = 0
\]
অথবা,
\[
x^2 + y^2 - (-4x) = 0
\]
যা ঠিক আমাদের পাওয়া সমীকরণের সাথে মিল আছে।
**তাই, বিকল্প (ii) সঠিক নয়।**
ধাপ ৪: বৃত্তের ব্যাসার্ধ নির্ণয়
উপরের হিসাব অনুযায়ী,
\[
r = 2
\]
অর্থাৎ,
(iii) বিকল্প:
**"বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = 2 একক"**
সঠিক।
ধাপ ৫: ছেদকৃত অংশের দৈর্ঘ্য নির্ণয়
প্রশ্নে বলা হয়েছে, y-অক্ষকে স্পর্শ করলে, x-অক্ষের সাথে ছেদকৃত অংশের দৈর্ঘ্য 4 একক।
যেহেতু, ব??ত্তের ব্যাসার্ধ \( r = 2 \), এবং কেন্দ্র (2, 0), তাহলে x-অক্ষের উপর, যেখানে \( y=0 \),
বৃত্তের সমীকরণ:
\[
(x - 2)^2 + 0^2 = 4
\]
\[
(x - 2)^2 = 4
\]
\[
x - 2 = \pm 2
\]
\[
x = 4 \quad \text{বা} \quad x=0
\]
অর্থাৎ, x-অক্ষের সাথে ছেদ বিন্দুগুলি হলো (0,0) এবং (4,0)।
অতএব, এই দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব:
\[
|4 - 0| = 4
\]
অর্থাৎ, x-অক্ষ দ্বারা ছেদকৃত অংশের দৈর্ঘ্য 4 একক।
এটি বিকল্প (i) এর সাথে মিলে।
সারসংক্ষেপ:
- (i) সত্য, কারণ ছেদকটির দৈর্ঘ্য 4।
- (ii) ভুল, কারণ সমীকরণটি আমাদের পাওয়া সমীকরণের সাথে মিলে না।
- (iii) সত্য, কারণ ব্যাসার্ধ 2।
অতএব, উপযুক্ত উত্তর হলো: **"i ও iii"**।
উত্তর: i & iii
