Another Explanation (5):
প্রশ্ন: ২x² + ২y² - ৩x + ৪y = 0 বৃত্তের কেন্দ্র কত?
দেওয়া সমীকরণ:
\[ 2x^2 + 2y^2 - 3x + 4y = 0 \]
ধাপ 1: সাধারণ রূপে রূপান্তর করুন
প্রথমে সমীকরণ থেকে সাধারণ রূপে আনব, যাতে আমরা কেন্দ্র নির্ণয় করতে পারি। সমস্ত টার্মের সাথে ২ ভাগ করব:
\[ 2x^2 + 2y^2 - 3x + 4y = 0 \]
\[ \Rightarrow x^2 + y^2 - \frac{3}{2}x + 2y = 0 \]
ধাপ 2: সম্পূর্ণ বর্গের জন্য যোগ ও বিয়োগ
\[ x^2 - \frac{3}{2}x + y^2 + 2y = 0 \]
প্রতিটি পরিবর্তনশীলের জন্য সম্পূর্ণ বর্গ তৈরি করি:
**x-এর জন্য:**
\[ x^2 - \frac{3}{2}x \]
তুলনা করি: \(\left(x - \frac{a}{2}\right)^2 = x^2 - a x + \frac{a^2}{4}\)
এখানে, \(a = \frac{3}{2}\), তাই:
\[ \left(x - \frac{3/2}{2}\right)^2 = x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{(3/2)^2}{4} \]
\[ = x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9/4}{4} = x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} \]
**y-এর জন্য:**
\[ y^2 + 2y \]
তুলনা করি: \(\left(y + \frac{b}{2}\right)^2 = y^2 + b y + \frac{b^2}{4}\)
এখানে, \(b=2\), তাই:
\[ \left(y + \frac{2}{2}\right)^2 = y^2 + 2 y + 1 \]
অতএব, সমীকরণটি লিখি:
\[ \left(x - \frac{3}{4}\right)^2 - \frac{9}{16} + \left(y + 1\right)^2 - 1 = 0 \]
সংকলন করলে:
\[ \left(x - \frac{3}{4}\right)^2 + \left(y + 1\right)^2 = \frac{9}{16} + 1 \]
\[ \left(x - \frac{3}{4}\right)^2 + \left(y + 1\right)^2 = \frac{9}{16} + \frac{16}{16} = \frac{25}{16} \]
ধাপ 3: বৃত্তের কেন্দ্র নির্ণয়
বৃত্তের সমীকরণ:
\[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \]
এখানে, কেন্দ্র \((h, k)\) হয়:
\[ h = \frac{3}{4} \]
\[ k = -1 \]
অতএব, বৃত্তের কেন্দ্র:
( \(\frac{3}{4}\), -1 )
**উত্তর:** \(\boxed{\left(\frac{3}{4}, -1\right)}\)
**দ্রষ্টব্য:** প্রদত্ত উত্তরে " (3, 4, -1) " উল্লেখ করা হয়েছে, যা সম্ভবত ভুল। সঠিক কেন্দ্র হল \(\left(\frac{3}{4}, -1\right)\)।
