x² + y²-6x + 4y + c = 0 বৃত্তটি y-অক্ষকে স্পর্শ করে।

স্পর্শ বিন্দুর স্থানাঙ্ক কত?

বৃত্তের সমীকরণ: \(x^2 + y^2 - 6x + 4y + c = 0\)

প্রথমে আমরা বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ খুঁজে বের করব।

সমীকরণটি সম্পূর্ণ করে লিখি:

\(x^2 - 6x + y^2 + 4y + c = 0\)

একটি সম্পূর্ণ স্কোয়ার রূপে রূপান্তর করি:

x এর জন্য:

\(x^2 - 6x = x^2 - 6x + 9 - 9 = (x - 3)^2 - 9\)

y এর জন্য:

\(y^2 + 4y = y^2 + 4y + 4 - 4 = (y + 2)^2 - 4\)

অতএব, সমীকরণটি হয়:

\[(x - 3)^2 - 9 + (y + 2)^2 - 4 + c = 0\]

এটি লিখে সংকলন করলে:

\[(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 13 - c\]

এখন, কেন্দ্র \( (h, k) = (3, -2) \) এবং ব্যাসার্ধ \( r \) হলো:

\(r = \sqrt{13 - c}\)

প্রশ্ন অনুযায়ী, বৃত্তটি y-অক্ষকে স্পর্শ করে। অর্থাৎ, y-অক্ষের সাথে এটি স্পর্শ করছে।

y-অক্ষের সমীকরণ: \(x=0\)

যেহেতু বৃত্তটি y-অক্ষকে স্পর্শ করে, তাহলে তার কেন্দ্রের x-অক্ষ থেকে দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হবে।

কেন্দ্রের x-অক্ষ থেকে দূরত্ব:

\(|h| = |3| = 3\)

অতএব, ব্যাসার্ধের মান হবে:

\(r = 3\)

এখন, ব্যাসার্ধের মানের জন্য সমীকরণে রাখি:

\(r^2 = 13 - c\)

\(3^2 = 13 - c \Rightarrow 9 = 13 - c \Rightarrow c = 13 - 9 = 4\)

অতএব, স্পর্শ বিন্দুর স্থানাঙ্ক হলো:

যেহেতু এটি y-অক্ষকে স্পর্শ করে, তখন স্পর্শ বিন্দুর x coordinate হবে 0।

এবং y-coordinate হল কেন্দ্রের y-অক্ষের মান যেখানে বৃত্তটি স্পর্শ করছে।

বৃত্তের কেন্দ্র: \( (3, -2) \)

ব্যাসার্ধ: 3

স্পর্শ বিন্দু যেখানে বৃত্ত y-অক্ষের সাথে স্পর্শ করে, x=0

বৃত্তের সাধারণ সমীকরণে x=0 রাখলে:

\((0 - 3)^2 + (y + 2)^2 = 9\)

\(9 + (y + 2)^2 = 9 \Rightarrow (y + 2)^2 = 0 \Rightarrow y + 2 = 0 \Rightarrow y = -2\)

অতএব, স্পর্শ বিন্দুর স্থানাঙ্ক হল:

(0, -2)