d/dx [sin^-1 2xsqrt(1-x^2) ] =?

প্রশ্ন: \(\frac{d}{dx} \left[\sin^{-1} \left(2x \sqrt{1 - x^2}\right)\right]\) = ?

উত্তর: \(\frac{2}{\sqrt{1 - x^2}}\)

সমাধান:

1. ধরি \( y = \sin^{-1} \left(2x \sqrt{1 - x^2}\right) \)
2. তাহলে, \(\sin y = 2x \sqrt{1 - x^2}\)
3. অতঃপর, ডিফারেনশিয়াল নিই: \[ \cos y \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left(2x \sqrt{1 - x^2}\right) \]
4. এখন, ডান দিকের ডেরিভেটিভ: \[ \frac{d}{dx} \left(2x \sqrt{1 - x^2}\right) = 2 \sqrt{1 - x^2} + 2x \frac{d}{dx} \left(\sqrt{1 - x^2}\right) \]
5. এবং, \(\frac{d}{dx} \left(\sqrt{1 - x^2}\right) = \frac{1}{2 \sqrt{1 - x^2}} \times (-2x) = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\)
6. অতএব, ডান দিকের ডেরিভেটিভ: \[ 2 \sqrt{1 - x^2} + 2x \left(-\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\right) = 2 \sqrt{1 - x^2} - \frac{2x^2}{\sqrt{1 - x^2}} \]
7. সাধারণে: \[ \cos y \frac{dy}{dx} = \frac{2(1 - x^2) - 2x^2}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{2 - 2x^2 - 2x^2}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{2 - 4x^2}{\sqrt{1 - x^2}} \]
8. তাহলে, \[ \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{2 - 4x^2}{\sqrt{1 - x^2}}}{\cos y} \]
9. এখন, \(\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - (2x \sqrt{1 - x^2})^2}\)
10. উপরে, \[ (2x \sqrt{1 - x^2})^2 = 4x^2 (1 - x^2) \] অতএব, \[ \cos y = \sqrt{1 - 4x^2 (1 - x^2)} = \sqrt{1 - 4x^2 + 4x^4} \]
11. এখন, ডান দিকের অভ্যন্তরটি সরলীকরণ করি: \[ 1 - 4x^2 + 4x^4 = (1 - 2x^2)^2 \] কারণ, \[ (1 - 2x^2)^2 = 1 - 4x^2 + 4x^4 \]
12. অতএব, \[ \cos y = \sqrt{(1 - 2x^2)^2} = |1 - 2x^2| \]
13. ধরা হয় \(x\) এর মানের উপর ভিত্তি করে, সাধারণত \(x \in [-1,1]\), যেখানে \(1 - 2x^2 \geq 0\) বা \(\leq 0\). তবে, ডেরিভেটিভের জন্য, \(\cos y\) এর মান ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হতে পারে।
14. সাধারণত, \(\cos y = |1 - 2x^2|\). তবে, ডেরিভেটিভের জন্য, মানটি ধনাত্মক ধরে নেওয়া যায় (যেমন, যখন \(x\) ছোট বা নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে)।
15. সুতরাং, \[ \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{2 - 4x^2}{\sqrt{1 - x^2}}}{|1 - 2x^2|} = \frac{2 - 4x^2}{\sqrt{1 - x^2} |1 - 2x^2|} \]
16. বিশেষ ক্ষেত্রে, যখন \(x\) এর মানে \(1 - 2x^2 \geq 0\), তখন \(|1 - 2x^2| = 1 - 2x^2\), এবং ফলাফল হয়: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{2 - 4x^2}{\sqrt{1 - x^2} (1 - 2x^2)} \]
17. সুতরাং, মূল সমাধান হলো: \[ \boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\sqrt{1 - x^2}}} \]