সহগুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের ক্ষেত্রে-

1.  sin (A/4)=(2tan(A/8))/(1+tan^2(A/8)
   
2.  cos(A/8)=(1+tan^2(A/16))/(1-tan^2(A/16))
3. cos16A=cos^2 8A-sin^2 8A
   

নিচের কোনটি সঠিক?

Another Explanation (5):

প্রশ্ন:

সহগুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের ক্ষেত্রে:

1. \( \sin \left(\frac{A}{4}\right) = \frac{2 \tan \left(\frac{A}{8}\right)}{1 + \tan^2 \left(\frac{A}{8}\right)} \)
2. \( \cos \left(\frac{A}{8}\right) = \frac{1 + \tan^2 \left(\frac{A}{16}\right)}{1 - \tan^2 \left(\frac{A}{16}\right)} \)
3. \( \cos 16A = \cos^2 8A - \sin^2 8A \)

নিচের কোনটি সঠিক? উত্তর: "i ও iii"

সমাধান:

i. \( \sin \left(\frac{A}{4}\right) = \frac{2 \tan \left(\frac{A}{8}\right)}{1 + \tan^2 \left(\frac{A}{8}\right)} \)

- এটি একটি পরিচিত ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, কারণ: \[ \sin 2x = \frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x} \] - এখানে, \( x = \frac{A}{8} \), সুতরাং, \[ \sin \left( 2 \times \frac{A}{8} \right) = \frac{2 \tan \left(\frac{A}{8}\right)}{1 + \tan^2 \left(\frac{A}{8}\right)} \] - অর্থাৎ, \[ \sin \left(\frac{A}{4}\right) = \frac{2 \tan \left(\frac{A}{8}\right)}{1 + \tan^2 \left(\frac{A}{8}\right)} \] - এটি সত্য। ফলে, (i) সঠিক।

ii. \( \cos \left(\frac{A}{8}\right) = \frac{1 + \tan^2 \left(\frac{A}{16}\right)}{1 - \tan^2 \left(\frac{A}{16}\right)} \)

- সাধারণত, \( \cos 2x = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} \) - বা, \(\cos 2x\) এর জন্য: \[ \cos 2x = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} \] - যদি \(x = \frac{A}{16}\), তাহলে: \[ \cos 2 \times \frac{A}{16} = \cos \frac{A}{8} \] - সুতরাং, \[ \cos \frac{A}{8} = \frac{1 - \tan^2 \left(\frac{A}{16}\right)}{1 + \tan^2 \left(\frac{A}{16}\right)} \] - কিন্তু প্রশ্নে দেওয়া সমীকরণে এটি ভিন্ন: \[ \frac{1 + \tan^2 \left(\frac{A}{16}\right)}{1 - \tan^2 \left(\frac{A}{16}\right)} \] - এটি ভুল। কারণ, উভয় পক্ষে বিভ্রান্তি সৃষ্টি হয়। অতএব, (ii) ভুল।

iii. \( \cos 16A = \cos^2 8A - \sin^2 8A \)

- এই সমীকরণটি মূল ত্রিকোণমিতিক পরিচিতি: \[ \cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \] - এখানে, \(\theta = 8A\), তাই: \[ \cos 16A = \cos^2 8A - \sin^2 8A \] - সত্য। ফলে, (iii) সঠিক।

সারাংশ:

- (i) সঠিক - (ii) ভুল - (iii) সঠিক অতএব, সঠিক উত্তর: **"i ও iii"**