A=[(x,-8,q),(-p,-y,r),(-q,-r,z)] একটি বিপ্রতীসম ম্যাট্রিক্স হলে -

1. x+y+z=0
2. p+8=0
3. [A]=0

নিচের কোনটি সঠিক?

প্রথমে, ম্যাট্রিক্স \(A\) হবে বিপ্রতীসম (অর্থাৎ, \(\det(A) = 0\)) বলে ধরা হয়েছে।

ম্যাট্রিক্স:

A = \begin{bmatrix}
x & -8 & q \\
-p & -y & r \\
-q & -r & z
\end{bmatrix}

বিপ্রতীসম ম্যাট্রিক্সের জন্য, \(\det(A) = 0\)।

ধাপ ১: \(\det(A)\) নির্ণয়

প্রথম সারি থেকে ডিটারমিন্যান্ট নির্ণয় করি:

\det(A) = x \cdot \det \begin{bmatrix} -y & r \\ -r & z \end{bmatrix}
- (-8) \cdot \det \begin{bmatrix} -p & r \\ -q & z \end{bmatrix}
+ q \cdot \det \begin{bmatrix} -p & -y \\ -q & -r \end{bmatrix}

ধাপ ২: প্রত্যেক 2x2 সাবম্যাট্রিক্সের ডিটারমিন্যান্ট নির্ণয়

1. \(\det \begin{bmatrix} -y & r \\ -r & z \end{bmatrix} = (-y) \cdot z - r \cdot (-r) = - y z + r^2\)
2. \(\det \begin{bmatrix} -p & r \\ -q & z \end{bmatrix} = (-p) \cdot z - r \cdot (-q) = - p z + r q\)
3. \(\det \begin{bmatrix} -p & - y \\ -q & - r \end{bmatrix} = (-p) \cdot (- r) - (- y) \cdot (-q) = p r - y q\)

ধাপ ৩: ডিটারমিন্যান্টের সম্পূর্ণ মান নির্ণয়

\det(A) = x (- y z + r^2) + 8 (- p z + r q) + q (p r - y q)

ধাপ ৪: বিপ্রতীসমের শর্ত অনুযায়ী \(\det(A) = 0\)

x (- y z + r^2) + 8 (- p z + r q) + q (p r - y q) = 0

এখন, প্রশ্নের উল্লেখিত বিকল্পগুলি যাচাই করি:

1. \(x + y + z = 0\)
2. \(p + 8 = 0 \Rightarrow p = -8\)
3. \([A] = 0\) (অর্থাৎ, \(\det(A) = 0\))

প্রথম বিকল্প: \(x + y + z = 0\)

এটি সরাসরি ডিটারমিন্যান্টের সংজ্ঞা বা নির্ণয় থেকে পাওয়া যায় না। এটি একটি নির্দিষ্ট সমাধান নয়, বরং একটি শর্ত।

দ্বিতীয় বিকল্প: \(p + 8 = 0\)

এটি বোঝাতে পারে যে, যদি \(p = -8\) হয়, তবে ডিটারমিন্যান্টের নির্ণয় কিছুটা সরল হয়।

তৃতীয় বিকল্প: \(\det(A) = 0\)

এটি সত্য, কারণ ম্যাট্রিক্স বিপ্রতীসম, অর্থাৎ \(\det(A) = 0\)।

উপসংহার:

অতএব, সঠিক উত্তর হলো: i ও ii।