মূল বিন্দু হতে  4 একক দূরবর্তী এবং -1 ঢাল বিশিষ্ট সরলরেখা সমীকরণ নিচের কোনটি?

প্রশ্ন: মূল বিন্দু হতে 4 একক দূরবর্তী এবং -1 ঢাল বিশিষ্ট সরলরেখা সমীকরণ নিচের কোনটি?

উত্তর: \(x + y \pm 4\sqrt{2} = 0\)

সমাধান:

ধরা যাক, মূল বিন্দু হলো \(P(x_0, y_0)\), এবং সরলরেখার সমীকরণ হলো \(ax + by + c = 0\).

প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী:

1. দূরত্ব \(d = 4\),
2. ঢাল \(m = -1\).

দ্রষ্টব্য: ঢাল \(m = -1\) এর জন্য সরলরেখার সমীকরণ হলো:

\[ y = -x + c \]

অথবা,

\[ y + x = c \]

প্রথমে, \(a\), \(b\), \(c\) নির্ণয় করি:

\[
a = 1, \quad b = 1, \quad c = c
\]

দূরত্বের সূত্র:

\[
d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}
\]

যেখানে, মূল বিন্দু \(P(x_0, y_0)\) থেকে সরলরেখার দূরত্ব \(d = 4\).

আমরা জানি, ঢালটি \(-1\), এর অর্থ:

\[
\text{সরলরেখা: } x + y + c = 0
\]

এবং,

\[
d = \frac{|c|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|c|}{\sqrt{2}} = 4
\]

অতএব,

\[
|c| = 4 \sqrt{2}
\]

অর্থাৎ,

\[
c = \pm 4 \sqrt{2}
\]

সুতরাং, সরলরেখার সমীকরণ:

\[
x + y \pm 4 \sqrt{2} = 0
\]

এটি মূল বিন্দু থেকে 4 একক দূরত্বে এবং ঢাল -1 বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ।

উত্তর: \(\boxed{x + y \pm 4 \sqrt{2} = 0}\)