Another Explanation (5): প্রথমে প্রশ্নটি বোঝা যাক:
প্রশ্ন: \(\lim_{x \to 0^+} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{4x}\)
এখানে, আমরা দেখছি যে \(x\) যখন 0 এর দিকে যাচ্ছে থেকে ডানদিকে (positive approach), তখন কী মান হবে।
সমাধান:
\[
\lim_{x \to 0^+} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{4x}
\]
অতএব, প্রথমে এই ধরণের লিমিটের জন্য সাধারণ রূপান্তর করব:
\[
L = \lim_{x \to 0^+} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{4x}
\]
এখানে, \(x \to 0^+\), অর্থাৎ \(x\) ধনাত্মক আর ক্ষুদ্র। এখন, এর মধ্যে একটি গুরুত্বপূর্ণ পর্যবেক্ষণ হলো:
যখন \(x \to 0^+\), তখন \(\frac{3}{x} \to +\infty\), কারণ \(x\) খুব ক্ষুদ্র ও ধনাত্মক। তাই,
\[
1 + \frac{3}{x} \to +\infty
\]
এবং, মূল লিমিটটি এখন:
\[
L = \lim_{x \to 0^+} \left(\text{large positive}\right)^{4x}
\]
এখানে, \(4x \to 0^+\), কারণ \(x \to 0^+\)। তবে, baseটি যখন অনেক বড় তখন এই ধরণের এক্সপ্রেশন সাধারণত ইনফিনিটির দিকে যায় বা শূন্যের দিকে যায়, নির্ভর করে এক্সপোনেন্টের গুণমানের উপর।
আসুন, এই লিমিটটিকে ল্যাম্বদো রূপে রূপান্তর করি:
\[
L = \lim_{x \to 0^+} \exp\left( \ln \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{4x} \right) = \lim_{x \to 0^+} \exp \left( 4x \cdot \ln \left( 1 + \frac{3}{x} \right) \right)
\]
এখানে, মূল কাজ হল:
\[
\lim_{x \to 0^+} 4x \cdot \ln \left( 1 + \frac{3}{x} \right)
\]
এখন, \(\ln \left( 1 + \frac{3}{x} \right)\) যখন \(x \to 0^+\), তখন:
\[
\frac{3}{x} \to +\infty
\]
সুতরাং,
\[
\ln \left( 1 + \frac{3}{x} \right) \sim \ln \left( \frac{3}{x} \right) = \ln 3 - \ln x
\]
অর্থাৎ,
\[
4x \cdot \ln \left( 1 + \frac{3}{x} \right) \sim 4x (\ln 3 - \ln x) = 4x \ln 3 - 4x \ln x
\]
এখন, এই দুটি অংশের লিমিট আলাদাভাবে বিশ্লেষণ করি:
1. \( \lim_{x \to 0^+} 4x \ln 3 = 0 \) কারণ \(x \to 0^+\) এবং \(\ln 3\) ধ্রুবক।
2. \( \lim_{x \to 0^+} -4x \ln x \)
এটি একটি পরিচিত লিমিট:
\[
\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0
\]
অতএব,
\[
\lim_{x \to 0^+} -4x \ln x = 0
\]
সুতরাং,
\[
\lim_{x \to 0^+} 4x \ln \left( 1 + \frac{3}{x} \right) = 0 + 0 = 0
\]
অর্থাৎ,
\[
L = \exp(0) = 1
\]
**উত্তর:**
<html>
<body>
প্রশ্নটির উত্তর হলো: 1.
