Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\cos 2\theta\) এর মান নিম্নলিখিত বিকল্পগুলির মধ্যে কোনটি সঠিক?
i. \(1 - 2 \sin^2 \theta\)
ii. \(\frac{1 + \tan^2 \theta}{\sec^2 \theta}\)
iii. \(\frac{1 - \tan^2 \theta}{\sec^2 \theta}\)
উত্তর: "i, iii"
---
### সমাধান:
#### 1. \(\cos 2\theta\) এর মৌলিক পরিচিতি:
\[
\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta
\]
#### 2. বিকল্প (i):
\[
\cos 2\theta = 1 - 2 \sin^2 \theta
\]
**প্রমাণ:**
আমরা জানি,
\[
\cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta - 1
\]
এবং,
\[
\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta
\]
সুতরাং,
\[
\cos 2\theta = 2 (1 - \sin^2 \theta) - 1 = 2 - 2 \sin^2 \theta - 1 = 1 - 2 \sin^2 \theta
\]
অর্থাৎ, বিকল্প (i) **সঠিক**।
---
#### 3. বিকল্প (ii):
\[
\frac{1 + \tan^2 \theta}{\sec^2 \theta}
\]
**প্রমাণ:**
আমরা জানি,
\[
1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta
\]
অতএব,
\[
\frac{1 + \tan^2 \theta}{\sec^2 \theta} = \frac{\sec^2 \theta}{\sec^2 \theta} = 1
\]
অর্থাৎ, বিকল্প (ii) এর মান \(1\), যা \(\cos 2\theta\) এর সাথে সমান নয়। সুতরাং, এটি **সঠিক নয়**।
---
#### 4. বিকল্প (iii):
\[
\frac{1 - \tan^2 \theta}{\sec^2 \theta}
\]
**প্রমাণ:**
আমরা আবার জানি,
\[
\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta
\]
অতএব,
\[
\frac{1 - \tan^2 \theta}{\sec^2 \theta} = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}
\]
এটি একটি পরিচিত ট্রিগোনোমেট্রিক সমীকরণ,
\[
\cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}
\]
অর্থাৎ, বিকল্প (iii) **সঠিক**।
---
### **উপসংহার:**
বিকল্প (i) ও (iii) যথাযথভাবে \(\cos 2\theta\) এর মান প্রকাশ করে। সুতরাং, উত্তর:
```html
উত্তর: i, iii
```
