একটি যন্ত্র সরল ছন্দিত স্পন্দনে চলমান যার সমীকরণx=10cos(6πt+π/3) 3 সেকেন্ড পরে বস্তুর ত্বরণ নির্ণয় কর।

সরল ছন্দিত স্পন্দনে চলমান বস্তুর ত্বরণ নির্ণয়

দেওয়া আছে, সরল ছন্দিত স্পন্দনের সমীকরণ: \( x = 10 \cos(6\pi t + \frac{\pi}{3}) \) 📏

এখানে, \( x \) হল সরণ এবং \( t \) হল সময়।

আমরা জানি, ত্বরণ \( a = \frac{d^2x}{dt^2} \) 🚀

প্রথমে, \( x \) কে \( t \) এর সাপেক্ষে একবার অবকলন করে বেগ \( v \) নির্ণয় করি:
\( v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} [10 \cos(6\pi t + \frac{\pi}{3})] \)
\( v = -10 \cdot 6\pi \sin(6\pi t + \frac{\pi}{3}) = -60\pi \sin(6\pi t + \frac{\pi}{3}) \) 🏃‍♀️

এরপর, বেগ \( v \) কে আবার \( t \) এর সাপেক্ষে অবকলন করে ত্বরণ \( a \) নির্ণয় করি:
\( a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} [-60\pi \sin(6\pi t + \frac{\pi}{3})] \)
\( a = -60\pi \cdot 6\pi \cos(6\pi t + \frac{\pi}{3}) = -360\pi^2 \cos(6\pi t + \frac{\pi}{3}) \) 😠

এখন, \( t = 3 \) সেকেন্ড বসালে ত্বরণ হবে:
\( a = -360\pi^2 \cos(6\pi \cdot 3 + \frac{\pi}{3}) \)
\( a = -360\pi^2 \cos(18\pi + \frac{\pi}{3}) \)
আমরা জানি, \( \cos(2n\pi + \theta) = \cos(\theta) \), যেখানে \( n \) একটি পূর্ণ সংখ্যা। সুতরাং, \( \cos(18\pi + \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \)
\( a = -360\pi^2 \cdot \frac{1}{2} = -180\pi^2 \) 🤔

\( \pi^2 \approx 9.87 \) ধরে,
\( a = -180 \times 9.87 \approx -1776.6 \) ms\(^{-2}\)

অতএব, 3 সেকেন্ড পরে বস্তুটির ত্বরণ প্রায় \(-1776\) ms\(^{-2}\)। 🎉